线性规划约束：优化变量的乘法

Question

给定一个包含两个优化变量（x_in(t)、x_out(t)）的优化问题。对于任何时间步，当x_in 不为零时，x_out 必须为零（反之亦然）。写成约束：

x_in(t)*x_out(t)=0

Matlab 的linprog 函数中如何包含这样的约束？

Answer 1

由于问题不是完全线性的，我不相信您可以使用 linprog 函数原样解决它。但是，您应该能够将问题重新表述为mixed integer linear programming 问题。然后您就可以使用 Matlab Central 中的 this extension 来解决问题。

假设x_in(t) 和x_out(t) 分别是具有上限x_in_max 和x_out_max 的非负变量，那么您可以将变量y_in(t) 和y_out(t) 添加到优化问题中并包括以下约束：

(1) y_in(t) and y_out(t) are binary, i.e. 0 or 1
(2) x_in(t)  <= x_in_max  * y_in(t)
(3) x_out(t) <= x_out_max * y_out(t)
(4) y_in(t) + y_out(t) = 1

鉴于 y_in 和 y_out 是二进制变量，约束 (2) 和 (3) 将 x_ 和 y_ 变量相互关联，并确保 x_ 变量保持在界限内（修复因此，x_ 变量的界限可以并且应该从问题表述中删除）。约束 (4) 确保 _in 或 _out 事件发生，但不能同时发生。