寻找算法（二维二分搜索的版本）

Question

简单问题和已知算法：

我有一个包含 100 个成员的大数组。前 X 个成员为 0，其余为 1。求 X。

我通过二分查找来解决它：检查成员 50，如果是 0 - 检查成员 75，等等，直到找到相邻的 0 和 1。

我正在为相同的二维问题寻找优化算法：

我有 100*100 的二维数组。行 0-X AND 列 0-Y 的成员为 0，其余为 1。如何找到 Y 和 X？

Answer 1

运行您的二分搜索两次。先对最后一行进行二分查找确定X，再对最后一列进行二分查找确定Y。

Answer 2

简单的解决方案：先在 X 方向，然后在 Y 方向。

检查 (0,50);如果是0，检查(0,75)；直到找到相邻的 0 和 1。然后从那里转到 Y 方向。

第二种解决方案：

检查成员 (50,50)。如果是 1，检查 (25,25)，直到找到 0。继续，直到找到相邻的 (X,X) 和 (X+1,X+1) 为 0 和 1。然后测试 (X,X +1) 和 (X+1,X)。两者都不是或其中之一将是 1。如果两者都不是，你就完了。如果只有一个，例如 (X+1,X)，那么您知道框的大小介于 (X+1,X) 和 (100,X) 之间。使用二分搜索查找框的高度。

编辑：正如 Chris 指出的那样，简单的方法似乎更快。

第二个解决方案（修改）：

检查成员 (50,50)。如果是 1，检查 (25,25)，直到找到 0。继续，直到找到相邻的 (X,X) 和 (X+1,X+1) 为 0 和 1。然后测试 (X,X +1）。如果为 1，则在 (X,X+1)...(X,100) 行上进行二分查找。否则在 (X,X)...(100,X) 行上进行二分搜索。

即使那样，我也可能在这里打死马。如果它会更快，那么可以忽略不计。这只是为了理论上的乐趣。 :)

EDIT 2 正如 Fezvez 和 Chris 所说，二分搜索将搜索空间一分为二最有效；我的方法将区域划分为 1/4 和 3/4 块。 Fezvez 指出，这可以通过预先计算除法因子来解决（但这将是额外的计算）。在我的算法的修改版本中，我选择要去的方向（X 或 Y 方向），这也有效地将搜索空间一分为二，然后进行二分搜索。总而言之，这表明这种方法总是会慢一些。 （而且实现起来更复杂。）

感谢 Igor Oks 提出有趣的问题。 :)

Answer 3

在两个维度和一维情况下使用二分搜索：

1. 从 j=50 开始。现在通过改变 i 获得的一维数组具有所需的形式 - 所以从一维案例中找到 X。
2. 如果 X = 100（即没有一个），则使 j=75（j 维范围的中间）并重复。
3. 如果 X

Answer 4

编辑：最佳解决方案包括两个简单的二分搜索。

对于我在下面发表的冗长而复杂的帖子，我深表歉意。问题的根本在于在包含 100*100 个元素的空间中找到一个点。你能做的最好的就是在每一步把这个空间分成两部分。你可以用一种复杂的方式来做（我在帖子的其余部分做的那个）但是如果你意识到在 X 轴上的二分搜索仍然在每一步将研究空间分成两部分，（同样适用于 Y轴）然后你就会明白它是最优的。

我还是让我做的事情，对不起，我在里面做了一些强制性的肯定。

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如果您正在寻找一种简单的算法（尽管不是最优的），只需按照建议运行两次二分搜索即可。

但是，如果您想要一个最优算法，您可以同时寻找 X 和 Y 上的边界。 （需要注意的是，这两种算法的渐近复杂度是一样的，但是最优的算法还是会更快）

在以下所有图形中，点 (0, 0) 位于左下角。

基本上，当您选择一个点并获得结果时，您会将空间分成两部分。当您考虑它时，这实际上是您可以从中提取的最大信息量。

如果您选择点（黑色十字），结果为 1（红线），这意味着您要查找的点不在灰色空间中（因此必须在剩余的白色区域）

另一方面，如果值为 0（蓝线），这意味着您要查找的点可能不在灰色区域（因此必须在剩余的白色区域）

所以，如果你得到一个 0 结果和一个 1 结果，你会得到：

您要查找的点在矩形 1、2 或 3 中。您只需检查矩形 3 的两个角，即可知道这 3 个矩形中哪个是好的。

所以算法如下：

• 注意您正在使用的矩形的左下角和右上角在哪里。

• 沿矩形的对角线进行二分搜索，直到您至少偶然发现一次结果为 1 和一次结果为 0。

• 检查矩形 3 的另外 2 个角（你必须已经知道对角线上两个角的值） 可以只检查一个角来知道正确的矩形（但你会如果右边的矩形是矩形，则必须检查两个角 3)

• 确定您要查找的点是否在矩形 1、2 或 3 中

• 通过将问题减少到好的矩形重复，直到最终的矩形减少到一个点：这是您正在寻找的值

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编辑：如果您想要最高最优性，那么当您选择点 (50, 50) 时，您不会等分切割空间。一个比另一个大三倍。理想情况下，您将选择一个将空间分割成两个相等区域（区域）的点

您应该在开始时计算一次factor = (1.0 - 1.0/sqrt(2.0)) 的值。然后，当您要在a 和b 之间剪切值时，选择剪切点为a + factor*(b-a)。当您在点 (100*factor, 100*factor) 处切割初始 100x100 矩形时，两个区域的面积将是 (100*100)/2，因此收敛速度会更快。