【发布时间】：2012-01-30 22:06:53
【问题描述】：
设bi 是具有i 节点的二叉树的数量。计算b10。
这是我遇到的一个问题。
到目前为止，我已经想出了这些：
B0=1
B1=1
B2=2
B3=5
B4=12
随着我变大，它很快变得有点太多了。
除了画出树并计算它们之外，谁能想出更好的方法来计算 Bi？
【问题讨论】：
标签： binary-tree catalan
【发布时间】：2012-01-30 22:06:53
【问题描述】：
我在 OEIS 中输入了您的答案，它得出了一些结果。
一个有希望的结果是 A000669 - 具有 n 片叶子的系列减少种植树木的数量。提供了以下示例：a(4)=5，具有以下系列减少的种植树：(oooo)、(oo(oo))、(o(ooo))、(o(o(oo)))、( (oo)(oo))。也就是说，我们的树不一定是种的。
但是，经过一番努力，我必须通知您，您对 B4 的值是不正确的——正确答案是 14。那么答案就很清楚了：the Catalan numbers。加泰罗尼亚数字计算了许多奇怪而多样的事物，包括您在此处提出的问题（通过Wolfram）。这里值得注意的是加泰罗尼亚数字恒等式 (8) - 定义加泰罗尼亚数字的循环。这个总和可以被认为是决定节点左侧的节点数量（其余的将在右侧）。
一个更简单的概念化方法是使用 Dyck 词。让 X 表示“左括号”，Y 表示“0”。 （我使用树的列表表示 - 左侧的节点是元素左侧的列表，反之亦然；如果节点没有左列表或右列表，则它被视为叶子。）我们将在适当的地方放入右括号.那么我们的 B3 树如下：
((((0)0)0) => X X X Y Y Y
((0)0(0)) => X X Y Y X Y
(0(0(0))) => X Y X Y X Y
((0(0))0) => X X Y X Y Y
(0((0)0)) => X Y X X Y Y
来自维基百科，这种形式的五个 2n 长度的 Dyck 词是 XXXYYY、XYXXYY、XYXYXY、XXYYXY 和 XXYYYY。最后是封闭式
Bn = (1 / (n + 1)) * (2n choose n) = (2n!)/((n+1)!(n!))
【讨论】：