关于正交矩阵的算法答案

【问题标题】：Algorithm concerning orthogonal matrices关于正交矩阵的算法
【发布时间】：2015-03-13 11:28:53
【问题描述】：

假设我有一个 n 维正交矩阵，其中一些元素已给出，而其他元素未知。是否存在一种有效的算法来找出未知元素并恢复整个矩阵（如果有很多只需要找到一个解决方案，当没有解决方案时会出错）？

谢谢！

【问题讨论】：

标签： algorithm matrix orthogonal

【解决方案1】：

解决方案取决于每行/列缺少多少元素。

我可以看到两种方法来解决这个问题

1.每行/列最多缺少 1 个元素

在这种情况下，您可以利用正交矩阵的任何行/列都是单位向量
所以对于任何行/列{ a1,a2,a3=??,a4,...,an }
未知元素是a3=sqrt(1-a1^2-a2^2-a4^2-a5^2-...-an^2)
如果行中有多个未知元素，则使用列，反之亦然
如果行和列中同时存在太多未知数
那么您需要对该元素使用不同的方法

2。超过 1 个缺失元素

首先找到方法 1 可以找到的所有未知数
如果Q 是正交的，那么您可以利用Inverse(Q)==Transpose(Q)
因此从逆 Q 导出每个未知元素的代数公式
并将其与转置的比较
这将创建一个线性方程

对所有未知数执行此操作并解决系统问题

     a11 a12     a13
Q =  a21 a22=?? a23=??
     a31 a32=?? a33=??

                  a11 a21 a31
transpose(Q) =  a12 a22=?? a32=??
                  a13 a23=?? a33=??

             i11 i12 i13
inverse(Q)= i21 i22 i23
             i31 i32 i33

det=a11.a22.a33+a21.a32.a13+a31.a12.a23-a11.a32.a23-a31.a22.a13-a21.a12.a33
a22=i22=(a11.a33-a13.a31)/det
a32=i23=(a13.a21-a11.a23)/det
a23=i32=(a12.a31-a11.a32)/det
a33=i33=(a11.a22-a12.a21)/det

这应该是可以解决的……
如果没有，那么您也可以添加项目符号 1 中的方程式
如果仍然没有，则无法找到任一解决方案，或者您需要使用不同的方法

在计算之前你应该先检查|elements|是否太大

因此将行/列中的所有已知元素 ^2 相加，结果应为<=1
如果不是，那么这也不是正交矩阵 ...
更多信息见Orthogonal matrixes (Wiki)

3.如果你有 element=1.0

那么该行/列中的所有元素都将为零

【讨论】：