关于矩阵算法的面试问题

Question

为您提供了一个包含整数值的 N*M 矩阵。你的任务是从每一行中选择一个整数，使这些整数的总和最大。但是，您不能从同一列的相邻行中选择两个整数。

我怎样才能在小于 O(N^M)（或 O(M^N)）的时间内解决这个问题？

Answer 1

我想出了两种可能的解决方案：1. 使用递归，2. 使用 DP。

1。使用递归

我想你已经有了这个解决方案。我做了一个递归函数，它遍历矩阵中的每一行并为每一列调用递归。正如您所提到的，时间复杂度将是 O(M^N)，其中 N 是行数，M 是列数。

int getMaxSum(int[][] matrix) {
    return getMax(matrix, 0, -1);
}

int getMax(int[][] matrix, int row, int prevCol) {
    if (row >= matrix.length) return 0;

    int result = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < matrix[row].length; i++) {
        if (i == prevCol) continue;

        int sum = getMax(matrix, row+1, i) + matrix[row][i];
        result = Math.max(result, sum);
    }

    return result;
}

2。使用 DP

我可以使用 DP 来跟踪每一列直到某一行的最大总和，而不是递归地遍历所有行和列。例如，DP[r][c] 可以在列 c 到行 r 处具有最大可能总和。为了实现这一点，我需要遍历输入矩阵中的所有行和列，并且在每个索引处，我还需要遍历前一行（不包括同一列）的最大可能总和。这将导致 O(N*M^2) 的时间复杂度，其中 N 是行数，M 是列数。

int getMaxSum(int[][] matrix) {
    if (matrix.length == 0) return 0;

    int[][] maxSumsDP = new int[matrix.length+1][matrix[0].length];
    for (int r = 1; r <= matrix.length; r++) {
        for (int c = 0; c < matrix[r-1].length; c++) {
            int maxPrev = Integer.MIN_VALUE;
            for (int i = 0; i < maxSumDP[r-1].length; i++) {
                if (i == c) continue;

                maxPrev = Math.max(maxPrev, maxSumsDP[r-1][i]);
            }
            maxSumsDP[r][c] = maxPrev + matrix[r-1][c];
        }
    }

    int result = maxSumsDP[maxSumsDP.length-1][0];
    for (int i = 1; i < maxSumsDP[maxSumsDP.length-1].length; i++) {
        result = Math.max(result, maxSumsDP[maxSumsDP.length-1][i]);
    }
    return result;
}