需要切比雪夫多项式的高阶导数

【问题标题】：High order derivatives of chebyshev polynomials needed需要切比雪夫多项式的高阶导数
【发布时间】：2020-07-22 09:13:00
【问题描述】：

我需要在所谓的 Chebyshev 网格的点处评估 Chebyshev 多项式的高阶（最多 4 个）导数，

x(j)=cos(πj/N), j=0,...,N

有人知道怎么做吗？我尝试了迭代方法，但它们太笨拙了。我记得在一篇旧报纸上看到过类似的东西，但现在找不到了。

任何帮助表示赞赏。

【问题讨论】：

您的意思是将其发布到不同的 StackExachange 上，例如 Math.SE?。这似乎与编程无关。
你说得对，我就贴在那里

标签： orthogonal collocation

【解决方案1】：

执行此操作的一种方法（尽管这可能是您拒绝的迭代方法）是使用递归：

T[n+1]'/(n+1) - T[n-1]'/(n-1) = 2T[n]   n>=2

这需要一个人能够手动计算前 3 个多项式的导数，但是因为

T[0](x) = 1
T[1](x) = x
T[2](x) = 2*x*x-1

这很简单。

递归中的系数与x无关，因此如果T[j,k]是第j个切比雪夫多边形的第k个导数，我们可以很容易地对其进行微分，得到

T[n+1, k]/(n+1) - T[n-1,k]/(n-1) = 2T[n,k-1]    n>=2

所以代码可能是：

compute the T[n,0] (ie the polynomials) at the point, for n=0..deg
initialise T[j,d] for j=0,1,2 and the required degrees
for j=1..deg
   use the recurrence to compute the remaining polynomials

【讨论】：