迭代多项式乘法——Python中的切比雪夫多项式答案

【问题标题】：Iterative polynomial multiplication -- Chebyshev polynomials in Python迭代多项式乘法——Python中的切比雪夫多项式
【发布时间】：2011-05-04 18:21:59
【问题描述】：

我的问题是：在 Python 中迭代多项式乘法的最佳方法是什么？

我认为一个有趣的项目是用 Python 编写一个函数来为给定次数的 Chebyshev 多项式生成每个项的系数和指数。生成这样一个多项式（由 T_n(x) 表示）的递归函数是：

With:

T₀(x) = 1

and

T₁(x) = x:

T_n(x) = 2xT_n-1(x) - T_n-2(x)

到目前为止，我所拥有的并不是很有用，但我在思考如何实现这一点时遇到了麻烦。我想要发生的事情如下：

>> chebyshev(4)
[[8,4], [8,2], [1,0]]

此列表表示 4 次切比雪夫多项式： T₄(x) = 8x⁴ - 8x² + 1

import sys
def chebyshev(n, a=[1,0], b=[1,1]):
    z = [2,1]
    result = []
    if n == 0:
        return a
    if n == 1:
        return b
    print >> sys.stderr, ([z[0]*b[0], 
                           z[1]+b[1]],
                          a) # This displays the proper result for n = 2
    return result

我在网上找到的one solution 不起作用，所以我希望有人能解释一下。

附言有关切比雪夫多项式的更多信息：CSU Fullteron、Wikipedia - Chebyshev polynomials。它们非常酷/有用，并且将一些非常有趣的三角函数/属性结合在一起；值得一读。

【问题讨论】：

标签： python iteration polynomial-math

【解决方案1】：

SciPy 有一个 Chebyshev 的实现

http://www.scipy.org/doc/api_docs/SciPy.special.orthogonal.html

我建议查看他们的代码。

【讨论】：

非常感谢！我曾在 numpy 中寻找过它，但不是 SciPy。

【解决方案2】：

切比雪夫的最佳实现是：

// Computes T_n(x), with -1 <= x <= 1
real T( int n, real x )
{
  return cos( n*acos(x) ) ;
}

如果您针对其他实现进行测试，包括显式多项式评估和iteratively computing the recurrence relation，这实际上是一样快的。 Try it yourself..

一般：

显式多项式评估是最差的（对于较大的 n）
递归评估要好一些
余弦评估是最好的

【讨论】：

余弦评估可以击败递归关系，但仅适用于非常大n。（cos 和 arccos 的计算成本很高。）此外，通常需要所有多项式的值达到一定程度，这当然非常便宜，而且递归。

【解决方案3】：

orthopy（我的一个项目）也支持切比雪夫多项式的计算。与

import orthopy

# from sympy.abc import x
x = 0.5

normalization = "normal"   # or "classical", "monic"
evaluator = orthopy.c1.chebyshev1.Eval(x, normalization)
for _ in range(10):
    print(next(evaluator))

0.5641895835477564
0.39894228040143276
-0.39894228040143265
...

您会在x = 0.5 处获得次数增加的多项式值。您可以使用多个值的列表/向量，甚至可以使用 sympy 符号。

计算当然发生在递归关系中。如果您对系数感兴趣，请查看

rc = orthopy.c1.chebyshev1.RecurrenceCoefficients("monic", symbolic=True)

【讨论】：