计算反射镜角度的解析方法

Question

我在 3D 空间中有一个固定的光线Lr 和一个可以围绕固定点Mrot 旋转的镜子M，这个点不在镜子的同一平面上，换句话说就是镜子平面与以Mrot 为中心、半径固定为d 的球体相切。使用这种配置，我想找到一个方程，它接收点 P 作为参数，并在 3D 空间中旋转镜子。

我们可以认为镜像平面没有边界（无限平面）并且它的旋转没有限制。此外，镜子只在其旋转点的另一侧反射。

图中是两个输入点P1和P2不同的情况，它们各自的解角alpha1和alpha2。图片为 2D 以简化图纸，真实案例为 3D。

目前我正在计算与镜面随机旋转的交点，然后计算光线反射，看看离我想要到达的点 (P) 有多远。最后用一些改变旋转的条件进行迭代，直到匹配为止。

显然这是一种矫枉过正，但我​​无法弄清楚如何以分析方式对其进行编码。

有什么想法吗？

注意：我注意到，如果镜子围绕其平面中的一个点（Mrot）旋转并且光线到达该点（Mrot），我可以轻松计算出镜子角度，但不幸的是不是我的情况。

Answer 1

首先注意这里只有一个参数，即t沿光线射到镜子的距离。

对于t的任意测试值，依次计算

1. 反射发生的点。
2. 入射光线和反射光线的矢量。
3. 镜子的法线向量，通过取归一化入射向量和反射向量的平均值得到。与 1 一起，您现在知道了镜子的平面。
4. 镜子到旋转点的距离d。

现在的问题是选择t 使d 取所需的值。这归结为t 中的八项多项式，因此没有解析公式^[1] 并且唯一的解决方案是迭代。^[2]

这是一个代码示例：

vec3 r;   // Ray start position
vec3 v;   // Ray direction
vec3 p;   // Target point
vec3 m;   // Mirror rotation point

double calc_d_from_t(double t)
{
    vec3 reflection_point = r + t * v;
    vec3 incident         = normalize(-v);
    vec3 reflected        = normalize(p - reflection_point);
    vec3 mirror_normal    = normalize(incident + reflected);
    return dot(reflection_point - m, mirror_normal);
}

现在将calc_d_from_t(t) = d 传递给您最喜欢的根查找器，确保使用t > 0 找到根。任何半体面的根查找器（例如 Newton-Raphson）都应该比您当前的方法快得多。

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[1] 即一个涉及算术运算、第 n 个根和系数的公式。
[2] 除非 occtic 因式分解相同，否则可能会将问题简化为四次。

Answer 2

我会将其作为 2 个独立的平面问题（一个在 xy 平面，第二个在 xz 或 yz 平面）。我首先想到的是这个迭代过程：

1. 开始

   • 镜子以恒定距离围绕 Mrot 旋转，创建圆圈（3D 球体）
   • 所以计算 Lr 和球体的第一个交集
   • 如果没有找到交点，则在球体上找到离 Lr 最近的点
   • 将n0 正常计算为Lr 和从交点到P 的红线之间的半角
   • 这是镜像起始位置

2. 将镜子（水色）放置到n0 角度

   • 计算Lr的反射
   • 并计算半角da0这是新迭代的步骤

3. 将da0 添加到n0 角度并将镜子放置到这个新的角度位置

   • 计算Lr的反射
   • 并计算半角da1这是新迭代的步骤

4. 循环子弹 3 直到

   • da(i) 够小了
   • 达到最大迭代次数

[备注]

• 这应该比随机/线性探测更快地收敛到解决方案中
• P 离镜子越远（或旋转半径越小），收敛越快
• 不确定这个问题的解析解是否存在，看起来它会导致超越系统......