C 思维：浮点数与整数和浮点数表示答案

【问题标题】：C thinking : float vs. integers and float representationC 思维：浮点数与整数和浮点数表示
【发布时间】：2017-11-16 17:11:02
【问题描述】：

在 C（以及许多其他语言）中使用整数时，除法时必须注意精度。在除法之前，乘法和加法总是更好的（这样会产生更大的中间结果，只要它不溢出）。

但是花车呢？这还成立吗？或者它们是否以这样一种方式表示：将相似数量级的数量而不是大数量级除以小数量级更好？

【问题讨论】：

首先您需要了解浮点数在内存中的表示方式，请参阅this answer（来自软件工程）
在使用整数时必须注意精度是什么意思？如果你对一个整数进行除法，那么你使用的是整数除法，所有结果的精度都是第 0 位小数。从这个意义上说，整数除法是精确的。
在进行浮点运算时将舍入误差保持在最低限度是一个相当大的话题。作为一个简单的规则，最好是操作数具有相似的大小。例如：将一个小的浮点值添加到一个巨大的浮点值中，根本不会改变巨大的值（前提是两者之间的差异足够大）。
是的，但是在大多数情况下，当您实现时，您使用整数除法作为您想要执行的理想除法的退化版本，并且简单地忍受没有小数部分出现的事实。然而，如果你改变单位，你的结果就会改变......例如，你以米为单位工作，然后将 10 米除以 4 得到 2，但如果你切换到毫米，10 000 除以 4 变成 2500，这是一个更好的结果......
@4386427 是的，添加（或减去）不同大小的数字会导致精度损失（当添加许多类似大小的数字时，这是一个真正的问题，例如求平均值），但是相乘（或划分）不同数量级的数字并不是那么糟糕。

标签： c floating-point integer division integer-division

【解决方案1】：

浮点数/双精度数和类似浮点工作的表示，旨在保留有效数字的数量（也称为“精度”），而不是固定数字小数位，例如发生在定点或整数工作中。

最好避免组合数量，这可能会导致指数下隐含或溢出，即在浮点数范围的限制。

因此，应避免加/减量级差异很大的量（明确地，或由于具有相反的符号）），并在可能的情况下重新安排，以避免这种众所周知的失去精度的途径。

示例：最好重构/重新排序

small + big + small + big + small * big

作为

(small+small+small) + big + big

因为小人物可能对大人物没有任何影响，因此他们的贡献可能会消失。

如果任何数量的低位存在任何“噪音”或不精确，了解有效位的丢失如何通过计算传播也是明智的。

【讨论】：

【解决方案2】：

（对于整数）在除法之前乘以加总是更好（这样会产生更大的中间结果，只要它不溢出）。

这仍然成立吗（对于浮动）？

一般来说，答案是否

很容易构建一个例子，在除法之前添加所有输入会产生巨大的舍入误差。

假设您要添加 10000000000 个值并将它们除以 1000。进一步假设每个值都是 1。所以预期结果是 10000000。

方法一 但是，如果您在除法之前添加所有值，您将得到结果 16777.216（对于 32 位浮点数）。正如你所看到的，它几乎没有了。

方法二 那么在将每个值添加到结果之前将其除以 1000 会更好吗？如果这样做，您将得到结果 32768.0（对于 32 位浮点数）。正如你所看到的，它也差不多了。

方法三 但是，如果您继续添加值直到临时结果大于 1000000，然后将临时结果除以 1000，然后将该中间结果添加到最终结果并重复此操作，直到您添加了总共 10000000000 个值，您将得到正确的结果。

所以在处理浮点数时，没有简单的“在除法之前总是加法”或“在加法之前总是先除法”。作为一般规则，将操作数保持在相似的大小通常是一个好主意。这就是第三个示例的作用。

【讨论】：

【解决方案3】：

使用整数：
只要没有溢出，+,-,* 总是准确的。
使用除法时，结果会被截断，并且通常不等于数学答案。
ia,ib,ic，在除法之前乘以 ia*ib/ic 与 ia*(ib/ic) 更好，因为商基于乘积 ia*ib 的更多位而不是ib.

带浮点：
问题很微妙。同样，只要没有上溢/下溢，顺序或*,/ 序列的影响小于整数。 FP */- 类似于添加/减去日志。典型结果与数学正确答案相差 0.5 ULP。

对于 FP 和 +,-，当 1) 值在幅度上相差很远或 2) 减去几乎相等的值并且现在先前计算中的错误时，fa,fb,fc 的结果可能与数学正确的结果有显着差异变得重要。

考虑二次方程：

double d = sqrt(b*b - 4*a/c);  // assume b*b - 4*a/c >= 0
double root1 = (-b + d)/(2*a);
double root2 = (-b - d)/(2*a);

对比

double d = sqrt(b*b - 4*a/c);  // assume b*b - 4*a/c >= 0
double root1 = (b < 0) ? (-b + d)/(2*a)  :  (-b - d)/(2*a)
double root2 = c/(a*root1);  // assume a*root1 != 0

当一个根接近 0 并且 |b| 接近 d 时，第二个具有更好的 root2 精度结果。这是因为b,d 减法取消了许多重要位，从而使d 的计算中的错误变得重要。

【讨论】：