如何评估通过链表或数组列表实现的二叉树的性能？

Question

这属于https://stackoverflow.com/help/on-topic的“软件算法”

这是来自一个面试问题http://www.glassdoor.com/Interview/Yelp-Software-Engineering-Intern-Interview-Questions-EI_IE43314.0,4_KO5,32_IP2.htm，

特别是“通过数组或链表实现二叉树的性能”

如何通过数组或链表实现二叉树？

我被教导这样做的方法是拥有一个链接节点类型的结构，它有两个指针，左和右，即（来自https://courses.cs.washington.edu/courses/cse143/12wi/lectures/02-22/programs/IntTreeNode.java）

public class IntTreeNode {
      public int data;            
      public IntTreeNode left;    
      public IntTreeNode right;   
      public IntTreeNode(int data) {
               this(data, null, null);
      } 

     public IntTreeNode(int data, IntTreeNode left, IntTreeNode right) {
            this.data = data;
            this.left = left;
            this.right = right;
      }
}

然后在实际的二叉树中

public class IntTree {
        IntTreeNode overallRoot;
        public IntTree() {
              overallRoot = null;
        }
         ....
  }

如果您只使用数组或链表（一个指针），您将如何处理？

但无论如何，这应该是一个快速的问题。即使您没有实现不应该执行的树，您将如何分析树的性能？性能是否取决于树的状态，就像它是 BST 一样？就像 BST 一样， find 将是 O(log n) 因为你每次都要砍掉一半的树。

您将如何根据这两种实现立即分析性能？

Answer 1

我不确定我是否理解正确，但这是我的想法。 基本上，您可以将树中的节点存储为数组/列表的元素。

对于数组，可以这样想：

public class Node {
    public int data;
    public int left;
    public int right;
    ...
}

您的树将是 Nodes (Node[] tree) 的数组，因此根将是第一个元素 tree[0]。 每个元素都将其左右子元素称为数组中的索引。 例如，tree[ tree[0].left ] 将是根的左孩子。 left 的值-1 可能表明该节点没有左孩子； right 也是如此。

例如，考虑以下树：

     5
  /     \
2         8
 \       / \
  3     6   9

假设您最初在数组中分配了 10 个元素。 由于树中的节点少于 10 个，因此其中一些将是 null。 这是它的样子： （我将每个Node 表示为(data,left,right) 元组）

{ (5,1,2) , (2,-1,4) , (8,5,3) , (9,-1,-1) , (3,-1,-1) , (6,-1,-1) , null , null , null , null }

因此对于节点(8,5,3)，你可以看出它的左孩子是第六个元素（节点(6,-1,-1)），它的右孩子是第四个元素（节点(9,-1,-1)）。

插入/删除函数的性能可能会因您的精确实现而异。 类似的想法也适用于链表（但请记住，它们没有随机访问权限：查找 i-th 元素需要逐个元素地遍历列表）。

希望这会有所帮助。

Answer 2

在分析这样的算法时，您想看看它是什么类型的二叉树（平衡与不平衡），以及与空间/时间复杂度有关的三个因素：

1. 插入
2. 删除
3. 搜索

比较二叉树的链表和数组实现，我们看到如下：

1. 链接列表的插入和删除比在数组中完成的成本要低得多（想想为完成这两个操作您必须进行的数组元素移位。
2. 链接列表提供灵活的大小，而数组则没有；当数据不适合初始数组大小时，您将不得不处理数组扩展。
3. 数组提供随机访问，而链表不提供；例如在处理完整或完整二叉树的数组实现时，我们可以轻松计算树中任何节点的索引。

话虽如此，对于Binary Search Trees 的具体实现，链表是更好的实现，因为在二叉搜索树中，访问遵循二叉搜索树的规则（根的值大于左孩子，小于右孩子)。因此，对于插入/删除和搜索，平均复杂度应该是O(log n)，前提是树是balanced。如果二叉搜索树不平衡，那么所有操作的复杂度都会变为O(n) - 这是最坏的情况。