为什么 SymPy 求解为高阶多项式提供空集？

Question

我必须找到nullclines intersect 所在的平衡点。我的代码如下。

>>> from sympy import symbols, Eq, solve
>>> A,M = symbols('A M')
>>> dMdt = Eq(1.05 - (1/(1 + pow(A,5))) - M)
>>> dAdt = Eq(M*1 - 0.5*A - M*A/(2 + A))
>>> solve((dMdt,dAdt), (M,A))
[]

为什么没有给出解决方案？

Answer 1

当我努力寻找解决方案时，你会明白为什么。

我将把方程写成 e1 和 e2 —— 在没有第二个参数的情况下使用 Eq 不再有效（或者在最新版本的 SymPy 中出现警告）：

>>> from sympy import solve, nsimplify, factor, real_roots
>>> from sympy.abc import A, M
>>> e1 = (1.05 - (1/(1 + pow(A,5))) - M)
>>> e2 = (M*1 - 0.5*A - M*A/(2 + A))

使用 e1 求解 M

>>> eM = solve(e1, M)[0]

代入e2

>>> e22 = e2.subs(M, eM); e22
-0.5*A - 0.05*A*(21.0*A**5 + 1.0)/((A + 2)*(A**5 + 1.0)) + 0.05*(21.0*A**5 + 1.0)/(A**5 + 1.0)

得到分子和分母

>>> n,d=e22.as_numer_denom()

找到这个表达式的真正根（仅取决于 A）

>>> rA = real_roots(n)

通过将每个代入 eM 来找到 M 的对应值：

>>> [(a.n(2), eM.subs(A, a).n(2)) for a in rA]
[(-3.3, 1.1), (-1.0, zoo), (-0.74, -0.23), (0.095, 0.050)]

A = -1 的根是虚假的——如果您查看 e1 的分母，您会发现这样的值会导致除以零。所以根可以忽略。其他可以是verified graphically。

为什么没有给出解决方案？它不能以封闭形式给出这个高阶多项式的解。即使您将上述分子分解（并使用 nsimplify 将浮点数转换为 Rationals），您的系数也是 7：

>>> factor(nsimplify(n))
-(A + 1)*(A**4 - A**3 + A**2 - A + 1)*(5*A**7 + 10*A**6 - 21*A**5 + 5*A**2 + 10*A - 1)/10