【发布时间】：2011-03-29 13:43:26
【问题描述】：
假设有一个 2D 平面（正方形），里面有一些点。
如何移动所有点，使它们尽可能均匀地填充平面，但每个点都保持其邻居？
换句话说，我希望这些点彼此尽可能远，但它们的位置（拓扑）应该被保留并且它们应该位于正方形中。
换句话说，我想放大富点人口的区域并缩小空白区域。
PS：对于高维空间有没有通用的解决方案？有直接解决方案还是只有迭代解决方案？
【问题讨论】：
【发布时间】：2011-03-29 13:43:26
【问题描述】：
一个好的建议是Lloyd's algorithm。但是，您要求的“邻居保留”属性不清楚。
但是，如果您要问的是以下内容：
给定一个图 (V, E)，其中 V 由 [0,1]^2 和 E 的点是 段，没有两个段' 内部相交（即我们有一个 平面图）尽可能均匀地移动点，保留 平面属性
那么劳埃德算法就可以了。
除此之外： 概括不是根据空间点所在的位置，而是根据您对点的要求的密度（例如，您可能需要对 R^n 进行高斯测量）。
【讨论】：
这是一个可能的策略的草图。
在您的原始点集 P 中，从正方形的边界添加一些点（至少是正方形的顶点）。点应该从边界均匀采样，如果原来有n个点，应该至少有√n个额外的点从边界采样。称此增广集为 Q。
然后做一个 Q 的Delaunay Triangulation。我们将在下一步中使用这个三角剖分的边。
现在执行least squares minimization 来找到 P 中的点的位置（保持 Q-P 中的点固定），使边长的平方和最小化。
你可以通过求解一个矩阵表达式来解决这个最小化问题，所以这是一个“直接解决方案”。
最小二乘问题的解决方案倾向于使边的长度相等。所以小边会变大，大边会变小。这将产生更均匀分布点的效果，同时保留它们的拓扑。
这很容易推广到更高的维度。
【讨论】：