Numpy vs mldivide,"\" matlab 运算符

Question

matlab 中的A \ B 给出了一个特殊的解决方案，而 numpy.linalg.lstsq 没有。

A = [1 2 0; 0 4 3];
b = [8; 18];
c_mldivide = A \ b
c_mldivide =

                 0
                 4
  0.66666666666667
 c_lstsq = np.linalg.lstsq([[1 ,2, 0],[0, 4, 3]],[[8],[18]])
 print c_lstsq
 c_lstsq = (array([[ 0.91803279],
                   [ 3.54098361],
                   [ 1.27868852]]), array([], dtype=float64), 2, array([ 5.27316304,1.48113184]))

1. matlab中mldivideA \ B如何给出特殊解？
2. 此解决方案是否有助于实现计算精度？
3. 为什么这个解决方案特别，你如何在 numpy 中实现它？

Answer 1

对于像您这样的欠定系统（等级小于变量的数量），mldivide 返回一个具有尽可能多的零值的解决方案。哪个变量将被设置为零取决于它的任意选择。

相比之下，lstsq 方法在这种情况下返回最小范数的解：也就是说，在无限的精确解族中，它会选择平方和最小的那个的变量。

因此，Matlab 的“特殊”解决方案有些随意：在这个问题中，可以将三个变量中的任何一个设置为零。 NumPy 给出的解其实更特殊：有一个唯一的最小范数解

哪种解决方案更适合您的目的取决于您的目的。解的非唯一性通常是重新考虑方程方法的原因。但既然你问了，这里是生成 Matlab 类型解决方案的 NumPy 代码。

import numpy as np
from itertools import combinations
A = np.matrix([[1 ,2, 0],[0, 4, 3]])
b = np.matrix([[8],[18]])

num_vars = A.shape[1]
rank = np.linalg.matrix_rank(A)
if rank == num_vars:              
    sol = np.linalg.lstsq(A, b)[0]    # not under-determined
else:
    for nz in combinations(range(num_vars), rank):    # the variables not set to zero
        try: 
            sol = np.zeros((num_vars, 1))  
            sol[nz, :] = np.asarray(np.linalg.solve(A[:, nz], b))
            print(sol)
        except np.linalg.LinAlgError:     
            pass                    # picked bad variables, can't solve

对于您的示例，它输出三个“特殊”解决方案，最后一个是 Matlab 选择的解决方案。

[[-1. ]
 [ 4.5]
 [ 0. ]]

[[ 8.]
 [ 0.]
 [ 6.]]

[[ 0.        ]
 [ 4.        ]
 [ 0.66666667]]