具有相同指数的两个精确表示的浮点数之间的减法是否不精确？答案

【问题标题】：Can a subtraction between two exactly represented floating point numbers with the same exponent be inexact?具有相同指数的两个精确表示的浮点数之间的减法是否不精确？
【发布时间】：2015-01-01 16:03:39
【问题描述】：

我有 2 个数字，x 和 y，它们是已知的并且精确地表示为浮点数。我想知道 z = x - y 是否总是准确的，或者是否会出现舍入错误。对于简单的例子，很明显：

x = 0.75 = (1 + 0.5) * 2^-1
y = 0.5 = 1 * 2^-1
z = x - y = 0.25 = 0.5 * 2^-1 = 1 * 2^-2

但是，如果我有 x 和 y 以使用所有有效数字并且它们具有相同的指数，该怎么办？我的直觉告诉我结果应该是准确的，但我希望看到某种证明。如果结果是否定的，有什么不同吗？

【问题讨论】：

您的问题标题和描述不匹配。特别是 - 如果指数相同，那么减法应该是精确的（没有证据 - 可能存在一些边界情况，但事实并非如此）；如果指数不一样，那么一般不一样。
如果指数和符号相同，减法将是精确的。如果符号不同，则添加幅度，并且可以从最高有效位位置进行进位。最低有效位的 1 会导致舍入和不精确的结果。
@Arvo：我假设您的意思是我的“简单示例”和标题不匹配？不过好点，我将编辑示例。

标签： floating-point floating-accuracy

【解决方案1】：

我假设您希望这两个数字具有相同的符号。如果不是，答案是“是”；考虑(-1) - nextafter(1, infinity)，它在浮点算术中计算为-2。

在这个假设下，答案是“不”。这（几乎）是 Sterbenz 定理的一个特例：如果 x 和 y 是相反符号的浮点数，使得 |y|/2 <= x <= 2|y|，那么 x + y 可以精确表示为浮点数。

我说“几乎”是因为您的陈述也适用于零和次正规数。

【讨论】：

Sterbenz 定理在文献中也被称为 Sterbenz 引理。