多项式模素数的根答案

【问题标题】：Roots of a polynomial mod a prime多项式模素数的根
【发布时间】：2015-05-14 02:35:10
【问题描述】：

我正在寻找一种快速算法来在素数有限域中找到单变量多项式的根。

也就是说，如果f = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn (n > 0)，那么对于给定素数 p，找到所有满足f(r) = 0 mod p 的r < p 的算法。

我找到了 Chiens 搜索算法 https://en.wikipedia.org/wiki/Chien_search，但我无法想象这对于大于 20 位的素数来说会那么快。有没有人对 Chien 的搜索算法有经验或知道更快的方法？有没有一个 sympy 模块呢？

【问题讨论】：

citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… 指出在有限域上求解多项式是分解它们的一种特殊情况，并且有随机多项式时间算法用于在有限域上分解多项式（参见例如en.wikipedia.org/wiki/…）。它说它继续描述用于求根的确定性多项式时间算法，但我还没有读到那么远。

标签： algorithm sympy polynomial-math polynomials

【解决方案1】：

正如 mcdowella 的评论所表明的那样，这已经得到了很好的研究。以下是 Cantor-Zassenhaus random algorithm 在您想要找到多项式根的情况下的工作原理，而不是更一般的因式分解。

请注意，在系数为 p 的多项式环中，乘积 x(x-1)(x-2)...(x-p+1) 具有所有可能的根，并且等于 x^px 通过@ 987654322@ 和此环中的唯一因式分解。

设置 g = GCD(f,x^p-x)。使用Euclid's algorithm 来计算两个多项式的 GCD 通常很快，需要采取一些最大程度为对数的步骤。它不需要您对多项式进行因式分解。 g在域中与f同根，无重复因子。

由于 x^px 的特殊形式，只有两个非零项，欧几里得算法的第一步可以由repeated squaring 完成，大约 2 log_2 (p) 步，只涉及次数不超过两次的多项式f 的度数，系数为 p。我们可以计算 x mod f、x^2 mod f、x^4 mod f 等，然后将对应于 p 的二进制展开中非零位置的项相乘以计算 x^p mod f，最后减去 x。

重复执行以下操作：在 Z/p 中选择一个随机 d。用 r_d = (x+d)^((p-1)/2)-1 计算 g 的 GCD，我们可以再次通过欧几里得算法快速计算，在第一步使用重复平方。如果这个 GCD 的次数严格在 0 和 g 的次数之间，我们已经找到了 g 的一个非平凡因子，我们可以递归直到我们找到线性因子，从而找到 g 的根，从而找到 f。

这多久有效一次？ r_d 将 d 小于非零平方 mod p 的数字作为根。考虑 g 的两个不同的根，a 和 b，因此 (x-a) 和 (x-b) 是 g 的因子。如果 a+d 是非零平方，而 b+d 不是，则 (xa) 是 g 和 r_d 的公因数，而 (xb) 不是，这意味着 GCD(g,r_d) 是 g 的非平凡因数.类似地，如果 b+d 是非零平方，而 a+d 不是，则 (x-b) 是 g 的公因数，而 (x-a) 不是。根据数论，一种情况或另一种情况接近 d 的可能选择的一半，这意味着平均而言，在我们找到 g 的非平凡因子之前，它需要恒定数量的 d 选择，实际上是一个分离 (xa)来自 (xb)。

【讨论】：

多项式 GCD 没有我说的那么快。步数受较小多项式的次数限制，这在这里已经足够了。

【解决方案2】：

你的答案很好，但我想我找到了一个很好的方法来找到任何数字的根：这个方法基于“LATTICES”。令 r ≤ R 为 mod p 的根。我们必须找到另一个函数，例如 h(x)，使得 h 不大并且 r 是 h 的根时间>。格法找到这个函数。首先，我们必须创建一个格的多项式基，然后，使用“LLL”算法，我们找到一个以 r 为根且不以 p为模的“最短向量” >。事实上，我们用这种方式消除了模p。

有关详细说明，请参阅“Coppersmith D.寻找小度多项式的小解。在密码学和格中”。

【讨论】：