绘制分数多项式的复根的乘法

Question

我认为@GGrothendieck's answer to the request for solutions to fractional roots of negative numbers 值得一个图形附录：

有人可以在单位复数圆中绘制根吗？以及添加一些根的“图形和”，即-8的相同5个根的顺序乘积，向量顺序相乘？

x <- as.complex(-8)  # or x <- -8 + 0i
      # find all three cube roots
xroot5 <- (x^(1/5) * exp(2*c(0:4)*1i*pi/5))
plot(xroot5, xlim=c(-8, 2),  ylim=c(-5,5))
abline(h=0,v=0,lty=3)

最初我认为这将是某种从头到尾的插图，但复数乘法是一系列围绕原点的扩展和旋转。

Answer 1

带有accumulate=TRUE 的Reduce 函数将传递x^5 = -8 的每个根的中间幂的序列，直到五次方：

x <- as.complex(-8)  # or x <- -8 + 0i
# find all five roots
xroot5 <- (x^(1/5) * exp(2*c(0:4)*1i*pi/5))
xroot5
#[1]  1.226240+0.890916i -0.468382+1.441532i -1.515717+0.000000i -0.468382-1.441532i  
#[5] 1.226240-0.890916i
(Reduce("*", rep( xroot5[4], 5),acc=TRUE) )
#[1] -0.468382-1.441532i -1.858633+1.350376i  2.817161+2.046787i  1.631001-5.019706i 
#[5] -8.000000+0.000000i
# Using the fourth root:
beg <- (Reduce("*", rep( xroot5[4], 5),acc=TRUE) )[-5]
ends <- (Reduce("*", rep( xroot5[4], 5),acc=TRUE) )[-1]
# Need more space
plot(xroot5, xlim=c(-8, 2),  ylim=c(-6,6))
abline(h=0,v=0,lty=3)
arrows(Re(beg),Im(beg), Re(ends), Im(ends), col="red")

   # Plot sequence of powers of first root:
   beg <- Reduce("*", rep( xroot5[1], 5),acc=TRUE)[-5]
   ends <- Reduce("*", rep( xroot5[1], 5),acc=TRUE)[-1]
   arrows(Re(beg),Im(beg), Re(ends), Im(ends), col="blue")

Answer 2

圆以0、0为圆心。所有根的半径都相同，选取其中任意一个，半径为

r <- Mod(xroot[1])

下面给出的图看起来与问题中的图相似，只是为了正确绘制它，我们强加了 1 的纵横比，并且通过 5 个点绘制了一个圆：

plot(Re(xroot5), Im(xroot5), asp = 1)

library(plotrix)
draw.circle(0, 0, r) 

任意根乘以

e <- exp(2*pi*1i/5) 

将其旋转到下一个根。例如，这会将xroot5[1] 绘制为红色：

i <- 0
points(Re(xroot5[1] * e^i), Im(xroot5[1] * e^i), pch = 20, col = "red") 

然后重复最后一行 i = 1, 2, 3, 4 看其他的依次变红。