为什么 90 - .Machine$double.eps 不小于 90？答案

【问题标题】：Why isn't 90 - .Machine$double.eps less than 90?为什么 90 - .Machine$double.eps 不小于 90？
【发布时间】：2019-05-08 23:08:58
【问题描述】：

我在这里对精度的理解一定是遗漏了一些东西，但我认为 R 可以表示沿网格的数字，步长为.Machine$double.eps，但情况似乎并非如此；事实上：

90 - .Machine$double.eps == 90
# [1] TRUE

这对我来说很奇怪，因为这两个数字 (1) 可以表示并且 (2) 不为零：

sprintf('%.16a', c(90, .Machine$double.eps))
# [1] "0x1.6800000000000000p+6"  "0x1.0000000000000000p-52"

差异在数值上非零的第一个位置更具暗示性：

90 - 32*.Machine$double.eps < 90
# [1] FALSE
90 - 33*.Machine$double.eps < 90
# [1] TRUE

这种结果直接指向精度问题，但我在这里的理解存在一些差距......

如果90 - .Machine$double.eps == 90，为什么我的机器上的double.eps 没有更大？

这里的结果告诉我，实际上我应该有.Machine$double.eps == 2^5 * .Machine$double.eps...

【问题讨论】：

@jogo 这与我在环顾四周时发现的大多数浮点问题相反。我期待.1 + .2 != .3。
90 的有效数字将.Machine$double.eps 移开。试试91*.Machine$double.eps - 这应该会给你带来不同。（这显然是浮点表示的一个方面！）最终阅读了 machine.eps 的定义：它是1+eps 不是1 的最低值1
@jogo 那么结论是十六进制指数（见我的编辑）相距太远了吗？（我猜对于 64 位表示，它们应该在 53 以内？）
浮点数的间距不均匀。称为“机器 epsilon”的量是 1 处的间距，对于 64 位浮点，它约为 2.22e-16。 90处的间距约为1.421e-14。
"...90 和 eps 相距太远。" 你可能想错了。与其考虑将值“发送”到某处，不如看看实际发生了什么：90 和下一个 90 以下的浮点数之间的空间是.Machine$double.eps 大小的两倍多。所以最接近90 - .Machine$double.eps 的可以表示为 64 位浮点数的数字是 90。

标签： r floating-accuracy

【解决方案1】：

这种效果被称为重要性损失 (https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance)。 90 的有效数字将.Machine$double.eps 移开。试试看

(90 - 46*.Machine$double.eps) == 90

这应该给你FALSE。
machine.eps 的定义：它是eps 的最小值，1+eps 不是1

根据经验（假设以 2 为底的浮点表示）：
这个eps 对范围 1 .. 2 产生了影响，
对于范围 2 .. 4，精度为 2*eps
等等。

x <- 3.8
(x + 2*.Machine$double.eps) == x
x <- 4
(x + 2*.Machine$double.eps) == x
# ...
x <- 63
(x + 32*.Machine$double.eps) == x
x <- 64
(x + 32*.Machine$double.eps) == x

浮点表示的绝对精度随x 而变化，但相对精度在浮点数范围内几乎是恒定的。

【讨论】：

我会编辑这个答案，因为我在我的问题中提到了确切的k，其中(90 - k*.Machine$double.eps) == 90 切换到FALSE（并且我提出的界限更严格）。鉴于我的问题，答案非常简单——看看我提供的%.16a 输出。 p+6 距离 p-52 太远。为了检测到非零差异，我们必须将后者增加到 p-47 以上（即 p-46）
您的评论实际上很有帮助！但我认为这个答案并不自然地遵循所问的问题......
不，这是我的问题的标题。我的问题是{body of question}