将边权重加倍后的最短路径

【问题标题】：Shortest path after doubling edge weights将边权重加倍后的最短路径
【发布时间】：2015-06-24 11:54:42
【问题描述】：

假设我们有一个加权有向图 G，并且我们使用 A* 搜索或任何其他最短路径算法找到了 G 中顶点 u 和 v 之间的最短路径。现在假设我们将 G 中的所有边权重加倍。最短路径会改变吗？

我的论点如下：最短路径不会改变。调用原始路径 P 并假设存在从 u 到 v 的第二条不同的路径 P'，使得在将边的权重加倍后，P' 比 P 短。那么，

    weight(P') < weight(P)

翻倍之后。然而，将两边除以 2，我们看到 P' 在加倍之前肯定也更短，所以 P 不是开始时的最短路径，我们有矛盾。因此，在将边缘权重加倍后，P 仍然是最短路径。

有人可以批评这个解决方案吗？对吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

是的，最短路径保持不变。对边缘权重应用线性变换不会改变最短路径，只要您不否定边缘权重即可。

【讨论】：

我认为这可能有点夸大了......将每个边权重乘以一个正常数因子不会改变最短路径 - 这是正确的（因为乘法分布在加法之上）。然而，在每条路径边上加 1，这也是一种“线性变换”，会比段数较少的路径对段数多的路径进行更大程度的惩罚，这通常意味着存在不同的最短路径......跨度>
@twalberg 将每个权重加 1 更恰当地描述为“仿射”，但我同意这里的措辞有待改进。
@DavidEisenstat 嗯......是的，我相信你是对的......已经有几年......几年......自从我上次完全精通线性代数概念以来，所以词汇量有点下滑。但是，如果区分线性与高阶多项式、指数、超越等，那么在“线性”的保护伞下考虑仿射变换并不太遥远……