约翰逊算法 - h 函数

Question

Johnson 的算法使用 Bellman-Ford 算法作为子程序来重新加权其输入图以消除其边上的负权重（假设没有负循环）。在标准实现中，在添加一个连接到所有其他节点的额外节点后，权重为 0，我们将新权重定义为：

w'(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v)

这个新的权重必须满足两个要求：

• 最短路径不变性（重新加权后的图中最短路径相同）
• 非负边权重（所有边必须具有非负权重）

在其标准实现中，函数h因此被定义为从添加节点到目标节点的最短路径权重（距离）：

h(v) = d(s,v)

所以我想知道的是：以其他方式定义 h 是否有意义？我正在考虑的一个方面是为此需要运行 Bellman-Ford。这主要是出于好奇，所以如果有替代 h 的“规范”定义的替代方案，即使是小细节对我来说也很重要。

Answer 1

这里有两种攻角。

首先是改变w'的定义。当前的定义不仅仅保留了最短路径；它保留了连接相同端点的路径长度之间的差异。我没有任何具体的想法来利用这里的差距。不幸的是，任何满足更强属性的重新加权都有一个相关的 h 函数。

第二个是改变h的定义。这个角度是没有希望的，因为当我们重写非负条件时，它看起来像

h(w) <= h(v) + d(v, w) for all vw in E,

这与最短路径的约束相同（最短路径线性程序具有根在距离为零的附加约束，并且它寻求最大化距离标签的总和）。我不会说你必须做 Bellman--Ford，但无论你用什么来计算 h，在某种意义上都必须是可以处理负权重的最短路径算法。