渐近时间复杂度与最佳、平均和最坏情况输入的组合

Question

我对许多声称渐近符号与最佳情况、平均情况和最坏情况时间复杂度无关的说法感到困惑。如果是这种情况，那么大概以下组合都是有效的：

时间复杂度 O(n)

1. 最佳情况 - 最佳情况输入的上限

为了尽可能最好的输入，这个算法执行的基本操作的数量永远不会超过 n 的某个常数倍数。

1. 平均案例 - 平均案例输入的上限

对于平均输入，此算法执行的基本操作的数量永远不会超过 n 的某个恒定倍数。

1. 最坏情况 - 最坏情况输入的上限

对于最坏的可能输入，该算法执行的基本操作的数量永远不会超过 n 的某个恒定倍数。

时间复杂度：Ө(n)

4. 最佳案例 - 最佳案例输入的严格限制

为了尽可能获得最佳输入，该算法执行的基本操作的数量永远不会超过或小于 n 的某个常数倍数。

5. 平均案例 - 平均案例输入的严格限制

对于平均输入，此算法执行的基本操作的数量永远不会超过或小于 n 的某个恒定倍数。

6. 最坏情况 - 最坏情况输入的严格限制

对于最坏的可能输入，此算法执行的基本操作的数量永远不会超过或小于 n 的某个恒定倍数。

时间复杂度：Ω(n)

1. 最佳情况 - 最佳情况输入的下限

为了尽可能最好的输入，这个算法执行的基本操作的数量永远不会少于 n 的某个常数倍数。

8. 平均案例 - 平均案例输入的下限

对于平均输入，该算法执行的基本操作的数量永远不会少于 n 的某个恒定倍数。

9. 最坏情况 - 最坏情况输入的下限

对于最坏的可能输入，此算法执行的基本操作的数量永远不会少于 n 的某个恒定倍数。

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以上哪项有意义？在根据输入增长时执行时间来评估算法的效率时，通常在实践中使用哪些？据我所知，其中有几个是多余的和/或矛盾的。

我真的没有看到上限、严格和下限的概念与最佳、平均和最坏情况输入无关。这是我研究得越深入，我就越困惑的那些话题之一。如果有人能帮我澄清一下这个问题，我将不胜感激。

Answer 1

所有的陈述都是有道理的。

在实践中，除非另有说明，否则我们应该讨论所有情况下的最坏情况输入。

我们经常关注平均案例输入，尽管“平均案例”的定义有点不可靠。通常最好谈论“预期时间”，因为这是一个更精确的数学定义，对应于人们通常所说的“平均情况”。不幸的是，人们在这里经常马虎，你会经常看到复杂性陈述指的是预期时间而不是最坏情况时间，但不要提及它。

我们很少关注最佳案例输入。

不幸的是，人们经常会混淆最佳与最坏情况输入与上限与下限的概念，尤其是在 SO 和其他非正式网站上。

您总是可以回到定义，就像您已经做过的那样，找出语句的真正含义。

“该算法在 X(n²) 时间内运行”表示给定函数 f(n) 的最坏情况执行时间与问题规模的关系在任何环境中，该函数将在集合 X(n²) 中。

“该算法在 X(n²) 预期时间内运行”表示给定函数 f(n) 在任何环境中执行时间与问题大小的数学预期 em>，该函数将在集合 X(n²) 中。

最后，请注意在任何环境中实际上只适用于特定的计算模型。我们通常假设random access machine，因此复杂性陈述对于例如图灵机实现无效。