矩阵中子和元素的动态规划[关闭]答案

【问题标题】：Dynamic Programming for sub sum elements in a matrix [closed]矩阵中子和元素的动态规划[关闭]
【发布时间】：2015-07-31 20:16:10
【问题描述】：

给定一个有 4 行和n 列的棋盘。每个单元格上都有一个整数。给定2n 光盘中的一部分或全部光盘，您可以将它们放在板上的不同单元格上，以便总和最大。唯一的限制是 2 个圆盘不能垂直或水平相邻。如何使用DP在O(n)的棋盘上放置最佳组合？

【问题讨论】：

所以我说过，对于每一列有 7 种可能的模式（不放置光盘不是一个选项，因为问题说明了其中的一部分）。我制作了一个矩阵 M ，如果我可以将分类为 c 的列（可以是 0 到 6）放在 i+1 列旁边，它将输出 T 或 F 。所以我考虑安排 n 个大小为 7 的优先级队列，队列中的每个元素都是一对分类和来自该分类的数字的总和，就在这里我卡住了
为什么要使用优先队列？尝试考虑如何将其表述为 DP。您希望找到描述如何构建解决方案的重复出现。开始简单：如果我们可以在每列中放置圆盘的位置没有限制，您将如何制定 DP？
所以我想到了 sum(n) = sum(n-1) + max {pik : k from 0 to number of possible patterns} 。（p - 当前列）问题是每当我需要插入条件时，我不能向后更改整个子问题
对，所以你需要一些方法来知道递归调用中的最后一列是什么......还要注意你需要一种方法来确保你使用的磁盘不超过 2n。
记忆？我总是可以把子问题的分类放在一边，但是如果想改变子问题本身，我该怎么办......好吧，这就是我对这个问题深陷泥潭的地方。我永远不会使用超过 2*n 的光盘，因为我已经计算了所有可能模式的总和。

标签： algorithm dynamic-programming divide-and-conquer bottom-up

【解决方案1】：

第一，我们不可能使用超过 2*n 个磁盘，因为任何列最多可以包含 2 个磁盘。

假设 d[i][mask] - 用磁盘填充从 1 到 i 的列后获得的最大数量，以便最后一列填充为掩码（掩码可以是 0000、0001、0010、0100、0101、1000、 1001 或 1010，其中 1 表示已放置磁盘，0 表示未放置）

所以 d[i][mask1] = max of (d[i-1][mask2] + 通过在第 i 列上应用 mask1 获得的数字)，其中 mask2 可以是与 mask1 不矛盾的任何掩码

编辑 1：您无需更改任何内容。当你在某个面具上的第 i 步时，它只取决于 i-1 面具的答案。你已经拥有了所有这些。您只需尝试从有效的 d[i][mask] 中更新当前的 d[i][mask]。正如我已经说过的 d[i][mask] - 存储从 1 到 i 填充列可以获得的最大值，最佳情况是，以便最后一列具有此掩码形式的磁盘（在 i 之前的掩码无关紧要-th 列已填满，因为它们不会影响下一列）

【讨论】：

假设在第 i 列上应用 mask1 获得了一个非常大的数字，并且 mask1 与 mask2 矛盾，我在哪里检查如何更改子问题中的所有内容，以便我可以拥有这个数字在 d[i][mask1] 中？
@itorra 更新了我的答案。如果你有一个例子，我可以解释一下