构建堆的时间复杂度答案

【问题标题】：Time Complexity of Build Heap构建堆的时间复杂度
【发布时间】：2021-05-04 09:10:25
【问题描述】：

我试图了解 C++ STL priority_queue 用于构建堆的时间复杂度。对于构建堆，时间复杂度应为 O(n)。假设我们有一个包含 n 个元素的向量，并且我们想从该向量构建一个最大堆。代码会是这样 -

vector<int> vec{3,4,5,1,2};
priority_queue<int> pq;

for (auto v : vec) {
pq.push(v);
}

推送操作需要 O(log n) 时间。在我看来，它是 O(nlogn) 时间复杂度。但是上面的代码 sn -p 只是第一次从向量中构建了一个堆。上述情况的复杂性是 O(n)，即构建一个堆。

编辑：如果上面的代码 sn-p 是 O(nlogn)，那么我想知道在 O(n) 中使用 priority_queue c++ stl 构建堆的代码。

【问题讨论】：

如果vec 包含n 元素，那么时间复杂度将为O(nlogn)
但是我们使用priority_queue来构建这样的堆，并且说构建堆的时间复杂度是O(n)。那为什么这么说呢？
请注意，O(log(n)) 时间复杂度只是一个关于操作时间复杂度上限的声明。该操作实际上可能发生得更快，并且在极少数情况下只需要那么长时间。如果运行时如果O(log(n)) 用于O(n/log(n)) 的调用和O(1) 用于其余的调用，那么您将得到O(n) 的总复杂度。（关键字摊销时间复杂度）（注意：我没有看过这个具体的例子并检查过，如果提到的复杂度实际上是正确的）
顺便说一句：我认为插入的时间复杂度只提到一次将所有元素传递给构造函数，而不是使用循环逐个插入元素。检查堆排序的构建堆步骤；这应该是使用的逻辑：en.wikipedia.org/wiki/Heapsort
你写的实现是 O(n log n)。 O(n) 算法见stackoverflow.com/a/1793961/2166798。该帖子中给出了其工作原理的解释，但互联网上也有许多其他描述。

【解决方案1】：

考虑用这个算法构建一个输入数组 A 的堆。

BUILD-HEAP(A) 
    heapsize := size(A); 
    for i := floor(heapsize/2) downto 1 
        do HEAPIFY(A, i); 
    end for 
END

这个上限O(nlg(n)) 虽然正确，但不是渐近紧的。

我们可以通过观察 Heapify 的运行时间取决于树 'h' 的高度（等于 lg(n)，其中 n 是节点数）和大多数子树的高度来得出更严格的界限- 树木很小。

请参考这个link，以获得完整的解释和数学证明。

【讨论】：