具有收敛级数的 Max-heapify答案

【问题标题】：Max-heapify with convergent series具有收敛级数的 Max-heapify
【发布时间】：2020-03-20 04:03:36
【问题描述】：

我正在经历 max-heapify，下面是观察结果

1- 观察 max-heapify 对于比叶子高一级的节点需要 O(1) 时间，对于比叶子高 L 级的节点通常需要 O(L) 时间

2- n/4 个节点，级别 1，n/8 个节点，级别 2，依此类推。

for循环的总工作量：

n/4 (1 c) + n/8 (2 c) + n/16 (3c) + ... + 1(log n c)

设置 n/4 = 2 pow k

C*2powk (1/2pow0 + 2/2pow1 + 3/2pow2 + ... + (k+1)/2powk)

括号中的数列是由一个常数限制的收敛数列

算法是：

构建最大堆 (A)

for i=n/2 down to 1:
  do max-heapify (A,i)

我从讲座中了解了大部分内容，但我在某些方面感到困惑

1- 为什么我们使用 n/4 (1 c)，为什么不使用 n/2？以及我们如何知道 n/4 将我们引导至 1 级

2- 这个收敛级数如何将我们引向 theta n 复杂度

【问题讨论】：

stackoverflow.com/a/49781979/56778 有什么帮助吗？
是的，它帮了很多忙，你能帮我解决这个问题吗（7 3 2*1 + 1*2 = 4），堆大小为 7，级别 3，如何计算电影 2* 1+1*2？是子孙的根吗？
一个有七个节点的堆有三层。根级别有 4 个节点永远不会移动。在叶级别之上的级别上，有两个节点可以潜在地向下移动一级（2 * 1）。根节点有一个节点可能会向下移动两级 (1*2)。

【解决方案1】：

1：考虑一些（为简单起见完整）二叉树。它有一个根，根下面有两个节点，下面有4个，依此类推。因此，高度为 h 的二叉树中的节点数为

1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(h-1) = 2^h - 1

由于这是节点的数量 n，大约一半的节点 (n/2) 是叶子。在上面的级别中，节点的数量是叶子的一半，所以 n/4。

2: 你有一个运行时

C * 2^k * (1 + 2/2^1 + ... + (k+1)/2^k)

让我们将括号中的项称为 S(k)（取决于 k）。我们说当 k 逆无穷大时 S(k) 收敛。此外，它还在增加，因为 S(k+1) 是 S(k) 加上一个正项。因此，它必须始终低于其限制。会不会更高，我们不能再下来了。因此我们可以说存在一个常数 A（与 k 无关），使得所有 k 的 S(k)

因此我们可以将运行时写成

C * 2^k * (1 + 2/2^1 + ... + (k+1)/2^k) < C * 2^k * A = A * C * n/4 = O(n)

【讨论】：

【解决方案2】：

这是一种很长的解释，我之前理解 heapify() 也有同样的困难。所以，我想分享一下。如果您发现一些问题，请告诉我。谢谢。

【讨论】：