多维数组（或张量）和向量的乘积

Question

我想寻求一种快速的方法来执行以下操作，无论是在原生 Matlab、C++ 中，还是使用工具箱/库，都可以提供最快的解决方案。

设M为D维的张量：n1 x n2 x... x nD，设v1,v2,...,vD为D维数分别为n1,@987654328的向量@,..., nD.

1. 计算乘积M*vi (1
2. 计算M 与除vi 之外的所有向量的乘积。

例如，当 D = 3：

• M 和v1 的乘积是一个二维张量N（即矩阵），其中

N[i2][i3] = Sum_over_i1 of M[i1][i2][i3]*v1[i1]

• M 和v2 的乘积是矩阵N 其中

N[i1][i3] = Sum_over_i2 of M[i1][i2][i3]*v2[i2]

• M 和 v2 和 v3 的乘积是一个向量 v 其中

v[i1] = Sum_over_i2 of (Sum_over_i3 of M[i1][i2][i3]*v2[i2]*v3[i3])

还有一个问题：以上只是针对稀疏张量。

Matlab 代码示例如下。

非常感谢您的帮助！

n1 = 3;
n2 = 5;
n3 = 4;

M = randn(n1,n2,n3);
v1 = randn(n1,1);
v2 = randn(n2,1);
v3 = randn(n3,1);

%% N = M*v2
N = zeros(n1,n3);
for i1=1:n1
    for i3=1:n3
        for i2=1:n2
            N(i1,i3) = N(i1,i3) + M(i1,i2,i3)*v2(i2);
        end
    end
end

%% v = M*v2*v3
v = zeros(n1,1);
for i1=1:n1
    for i2=1:n2
        for i3=1:n3
            v(i1) = v(i1) + M(i1,i2,i3)*v2(i2)*v3(i3);
        end
    end
end

Answer 1

我注意到您所描述的操作采用 M 的 (D - 1) 个维度切片，并通过 vi 的相应条目对它们进行缩放，随后将结果与 vi 的索引相加。此代码似乎适用于在您的示例中获取 N：

N2 = squeeze(sum(M.*(v2)', 2));

要在您的代码中获得v，您只需将N 乘以v3：

v2 = N2*v3;

编辑

在较旧版本的 MatLab 上，逐元素运算符 .* 不能像我上面使用的那样工作。一种选择是bsxfun：

N2 = squeeze(sum(bsxfun(@times, M, v2'), 2));

刚刚检查：就性能而言，bsxfun 方式似乎与 .* 方式一样快，至少在 R2016b 上是这样。