证明决策概率在 NP 中

Question

我正在阅读 CLRS，试图自学并发现这部分很难。

我正在尝试解决，但实际上没有可参考的解决方案。

假设你有输入：x1, x2, x3, ..., xn m1, m1, m3, ... mn M1 and M2

那你要输出：A partition into two disjoint subsets S, T (so the intersection is an empty set) so that the sum of each mk (1<=k<=n) of all elements in S is <= M1 and the sum of each mk (1<=k<=n) of all elements in T is <= M2, so that the total value sum of all (xk's in S) + (xk's in T) is maximized. where (1<=k<=n)

我试图证明它在 NP 中。 我在进行动态编程时遇到了类似的问题，相信这是针对背包的。但这似乎有点复杂。我一直在废纸上写，但似乎无处可寻。这是出于个人兴趣。

Answer 1

让我们以此作为决策版本：

是否存在分区S，T使得S和T不相交，S的总权重= Y？

（我将其改写为“重量”和“价值”，以使与背包的联系更加明显）

现在，这是在 NP 中吗？

是的。有几种方法可以显示 NP 的成员资格，最简单的可能是这种方式：有一个见证人可以让我们（在多项式时间内）验证“是”的答案是否正确。见证人就是 S 和 T 对。这里的验证也不需要任何技巧，只需测试问题中提到的所有条件即可。

它也是 NP-Complete 因为它会解决一个背包实例。这个问题就像有两个背包一样，只需将其中一个的大小设为零，就可以恢复为普通背包了。