在归一化浮点数 f 之后（之前）的下一个归一化浮点数是多少？

Question

给定一个标准化浮点数 f，f 之后/之前的下一个标准化浮点数是什么。

通过位旋转，提取尾数和指数我有：

next_normalized(double&){
      if mantissa is not all ones
          maximally denormalize while maintaining equality 
          add 1 to mantissa
          normalize
      else 
          check overflow
          set mantissa to 1  
          add (mantissa size in bits) to exponent.
      endif
 }

但不是这样做，可以用浮点运算来完成吗？

作为

std::numeric_limits<double>::epsilon() 

只是“邻域”为 1 的误差差异。-例如：

normalized(d+=std::numeric_limits<double>::epsilon()) = d for d large

似乎更多的是错误率而不是错误差异，因此我的天真直觉是

(1.+std::numeric_limits<double>::epsilon())*f //should be the next.

还有

(1.-std::numeric_limits<double>::epsilon())*f //should be the previous.

特别是我有 3 个问题，是否有人做过以下任何一项（针对 IEEE754）：

1)对这个问题做了错误分析吗？

2)证明（或可以证明）对于任何 标准化双 d

    (1.+std::numeric_limits<double>::epsilon())*d != d ?

3)证明对于任何规范化双数 d 不存在双 f 使得

    d < f < (1.+std::numeric_limits<double>::epsilon())*d ? 

Answer 1

正如 Robert Kern 所指出的，您需要 C 语言的 nextafter( ) 函数，或者 IEEE754 nextUp( ) 和 nextDown( ) 函数，尽管这两个函数尚未得到广泛实施。

如果你想避免 nextafter 出于某种原因，你可以这样做：

double next = x + scalbn(1.0, ilogb(x) - 52);

这会将 2^（x - 52 的指数）添加到 x，这恰好是最后一位 (ULP) 的一个单位。

如果您没有可用的常用 cmath 函数：

double x = 1.0;
uint64_t rep;
assert(sizeof x == sizeof rep);
memcpy(&rep, &x, sizeof x);
rep += 1;
memcpy(&x, &rep, sizeof x);

通过对浮点值的按位表示进行运算，将 x 的有效位加一；如果下一个值在下一个 binade 中，这将带入指数，返回正确的值。如果您希望它适用于负值，则需要对其进行调整。

Answer 2

1.0 - epsilon 不是 1.0 的前身，所以负数部分根本不起作用...
1.0的前身是1.0-epsilon/2.0

Answer 3

如下所述，经过一点点调查后发现，对于大小为 n 位的 intel IEEE754 格式的正浮点数，

如果为负，反之亦然。特别是可以将 n-1 位整数解释为表示与符号无关的绝对幅度。因此，当负数时，必须减去 1 才能使负浮点数 f 之后的下一个浮点数更接近于零。

Answer 4

3) 下的陈述是错误的。如果 d 略小于 2，则在 d 和 (1+eps) * d 之间恰好有 1 个浮点数。这是一个展示它的程序：

#include <limits>
#include <iostream>

int main(int, char**)
{
  using namespace std;
  double d = 1.875;
  cout.precision(18);
  cout << "d = " << d << "\n";
  double d2 = (1.+numeric_limits<double>::epsilon())*d;
  cout << "d2 = " << d2 << "\n";
  double f = d + (d2-d)/2;
  cout << "f = " << f << "\n";
}

原因是 (1+eps) * 1.875 等于 1.875 + 1.875 * eps，四舍五入为 1.875 + 2 * eps。但是1和2之间的连续浮点数的差是eps，所以1.875和1.875 + 2 * eps之间有一个浮点数，即1.875 + eps。

我认为 2) 下的陈述是正确的。 Robert Kern 可能回答了你真正的问题。

Answer 5

我不确定您所说的“规范化双数”是什么意思，但在大多数 C 标准中，通过 nextafter() function 获得下一个可表示双数数学库。