括号乘法答案

【问题标题】：Brackets multiplication括号乘法
【发布时间】：2014-06-23 07:32:27
【问题描述】：

我需要有范式的多项式的数组系数，所以我需要乘以长括号序列：

(x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)。

我怎样才能以最佳的时间复杂度做到这一点？

【问题讨论】：

标签： c++ algorithm multiplication

【解决方案1】：

最佳可能时间复杂度不是一个好问题，因为最佳可能时间并不总是最佳可能复杂度，并且有大量变量会进入最佳可能时间。

我强烈建议首先实施一种幼稚的方法（即首先想到什么）。完成后，看看它是否足够快，如果是，那才是最重要的。

（顺便说一句，天真的解决方案可能是O(n)，我认为最佳解决方案仍然是O(n)）

【讨论】：

我认为这个问题实际上可以在恒定复杂度O(1) 中完成，使用 gamma 函数来计算阶乘，或者类似的东西（我的数学刚刚有点生疏）。跨度>
@rodrigo：很难从帖子中看出他们是否有代码暗示的1..n，或者实际上是array[0]..array[n-1]。尤其是当他们说“多项式的数组系数”时。
也许我问错了问题。我只是不知道该怎么做。我需要将这些系数保存在一个数组中，我无法想出简单的算法......但我有一个想法。这仍然是 O(n^2)，但我认为这就足够了。我不知道如何在 O(n) 中实现它，如果在每次乘法之后我必须添加具有相同 x 度数的系数。我的算法：两个数组。 i 乘法后的系数将在第一个，并且在从 1 到 n 的每一步中，我将执行操作 tab2[j] = tab1[j-1] * i，然后对于所有元素 tab1, tab1[ j] += tab2[j]。仍在寻找 O(n)。
@ago, 1..n，如拉格朗日公式。抱歉语法错误，在波兰我们的句子结构有点不同。
@user3608878：听起来您确实遇到了算法简化问题，您想在其中获取一个方程式并在一些中间步骤中进行烘焙。不幸的是，这不是最好的地方，math.stackexchange.com 可能会让你的运气更好

【解决方案2】：

我怀疑算法存在的复杂性优于 O(n^2)。给定根 [1..n] 的多项式系数可以通过Vieta's theorem 表示，其中每个系数都是根积的复数和。这是一个相当有效的 Delphi 示例（改编自一些 Fortran 数值库）。
对于 n =3，它产生 [-6, 11, -6, 1] 系数：

(x-1)*(x-2)*(x-3)=x^3-6*x^2+11*x-6

  procedure CalcPolyCoeff(const N: Integer; var Coeff: TArray<Integer>);
  var
    i, k: Integer;
  begin
    if N = 0 then
      Exit;
    SetLength(Coeff, N + 1);
    Coeff[0] := -1;
    Coeff[1] := 1;
    for k := 2 to N do begin
      Coeff[k] := 1;
      for i := k - 2 downto 0 do
        Coeff[i + 1] := Coeff[i] - k * Coeff[i + 1];
      Coeff[0] := -k * Coeff[0];
    end;

【讨论】：