最佳情况运行时间：上限和下限？ [关闭]

Question

在我的作业中，我以语句的形式获得了一些关于算法的信息。其中一种说法是：“算法 B 的最佳运行时间是 Ω(n^2);”。

我的印象是算法的最佳情况运行时间总是下限、上限或紧限。我想知道这样的算法是否也可以具有其最佳情况运行时间的上限。如果是这样，发生这种情况的算法示例有哪些？

Answer 1

case 是您考虑算法性能的一类输入。 最佳情况是您的算法运行时具有最理想的渐近界限的输入类别。通常这可能意味着没有其他类可以提供较低的 Omega 界限。 最坏情况是您的算法运行时具有最不理想的渐近界限的输入类。通常这可能意味着没有其他类可以提供更高的 O 界限。 平均情况与边界的可取性无关，而是在给定输入的某些规定分布的情况下查看运行时的预期值。等等。你可以定义你想要的任何情况。

想象以下算法：

Weird(a[1...n])
    if n is even then
        flip a coin
        if heads then bogosort(a[1...n])
        else if tails then bubble_sort(a[1...n])
    else if n is odd then
        flip a coin
        if heads then merge_sort(a[1...n])
        else if tails then counting_sort(a[1...n])

给定一个 n 整数列表，每个整数都在 1 到 10 之间，包括 1 和 10，此算法对列表进行排序。

• 在最好的情况下，n 是奇数。最佳情况的下限是Omega(n)，最佳情况的上限是O(n log n)。

• 在最坏的情况下，n 是偶数。最坏情况下的下限是O(n^2)，最坏情况下没有上限（因为 bogosort 可能永远不会完成，尽管这不太可能）。

• 要定义平均情况，我们需要定义概率。假设偶数/奇数对所有n 的可能性相同，则平均情况没有上限，平均情况下限为Omega(n^2)，与最坏情况相同。要为平均情况获得不同的界限，我们需要定义分布，以便n 对于更大的列表变得越来越不可能。例如，您通常传递给该算法的唯一偶数长度列表的长度可能为 2。