构建堆时间复杂度最坏情况与上限/严格上限

Question

HERE 据说构建堆的最坏情况时间复杂度是 O(nlogn) 但上限是 O(n)。

上限与最坏情况的时间复杂度有何不同，以及何时比其他更有意义。 严格的上限有什么不同吗？

Answer 1

构建一个堆（也称为Heapify）总是 O(n)，无论输入分布或堆的分支因子（二元、三元堆...)。

您误读了提供的链接，它指出：（重点是我的）

虽然最坏情况的复杂度看起来像 O(nLogn)，但时间复杂度的上限是 O(n)。

基本上，heapify 是如何工作的？ （为了清楚起见，我假设我们使用的是二进制堆）

首先让我们回忆一下二叉堆的堆条件是什么（使用数组A）：

对于任意 i ∈ [0, [N/2], A[i] ≤ A[2i+1] AND A[i] ≤ A[2i+2]

注意：对于从索引 1 开始的数组，您通常会发现相同的条件。在这种情况下，您只需“删除”1，即。 2i+1 变成 2i，2i+2 变成 2i+1。

为什么这种情况仅限于堆的前半部分？很简单，对于任何 i > N/2，2i+1 和 2i+2 都不是有效索引。

HEAPIFY
输入： N 个元素的数组
输出： 相同的 N 个元素的数组，强制执行堆条件

void sink(int [] A, int i, int n) {
    int highest = 2*i+1;
    if (2*i+1 >= n)
        return;
    if (2*i+2 < n && A[2*i+2] > A[highest])
        ++highest;
    if (A[i] < A[highest]) {
        swap(A, i, highest);
        sink(A, highest, n);
    }
}

void heapify(int [] A, int n) {
    for (int i = n/2; i >= 0; --i) {
        sink(A, i, n);
    }
}

假设我们有一个完整的二进制堆，这样的堆正好包含 N = 2^h+1 - 1 个元素，对于给定的整数 h >= 0。查看堆成一棵树。索引 0 是树的根（高度 1），索引 1,2 是该根的子节点（高度 0），依此类推。树的高度是整数h。

算法从高度 h-1 开始。高度为 h-1 的 2^h-1 元素在下沉时最多可以移动一次。然后，高度为 h-2 的 2^h-2 元素每个元素最多可以触发 2 次交换...根（高度为 0 的 2⁰ 元素）可以触发最多 h 交换。最后，构建堆的最大交换次数是：

MaxSwap = sum(k=0..h-1, 2^k.(h-k)) = 2^h+1 - h - 2 ≤ 2^h+1 - 1 = N

构建堆的最大比较次数是最大交换次数的两倍。 对于任何“不完整”的堆，即。 2^h ≤ N h+1 - 1，推理仍然成立。

结论：Heapify 是 O(N) 其中N是堆的大小。

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奖金

从输入数组构建 Maxheap 的运行 Java 示例：here