比较函数的界限

Question

我了解函数边界的一般概念；例如，如果我们说一个函数

ƒ1(n) ∈ Ω(n^2)

那么我们知道ƒ1(n)是下界n^2约束内的一个元素，意思是ƒ1(n) 可以是任何增长较慢或等于 n^2 的函数。

现在，当我们谈论关于 ƒ1(n) 边界的其他函数时，我开始感到困惑。例如，假设我们有一个声明如下：

如果

ƒ1(n) ∈ Ω(n^2)

和

ƒ2(n) ∈ Θ(n)

那么

ƒ2(n) ∈ O(ƒ1(n))

我很难判断它是真是假。我有两种相互矛盾的方法：

• true - 由于 ƒ2 在 n 下是紧密绑定的，所以它可以被认为是 约束内的一个元素>O(ƒ1(n))，因为 ƒ2 的增长速度并不比 ƒ1 慢。
• false - 由于 ƒ1 的下界为 n^2，因此函数 ƒ2 紧束缚在 n 下，不能被认为是 ƒ1 上限的元素，因为我们知道 ƒ1 不会有上限bound 的增长速度比 n^2 慢。

我想到的这两种方法对我来说似乎都有效；当我们试图确定另一个函数是否是其上限的元素时，我想我是否关心 ƒ1 的下限。

任何有关澄清这一点的帮助将不胜感激。

Answer 1

让我们看看 big-O 等的定义。所有公式对于足够大的 n 都是有效的。然后，存在一些常量k，例如：

第一个公式：

ƒ1(n) ∈ Ω(n^2)
⇔ k1 * n^2

第二个公式：

ƒ2(n) ∈ Θ(n)
⇔ k2 * n

我们知道k3 * n < k1 * n^2（同样，对于足够大的n）。因此：

k2 * n

这可以简化为

f2(n)

有了这些知识，我们看到推断的公式是正确的：

ƒ2(n) ∈ O(ƒ1(n))
⇔ f2(n)