TSP 和 Christofide 启发式的 Subtour 约束公式答案

【问题标题】：Subtour constraints formulations for the TSP and Christofide's heuristicTSP 和 Christofide 启发式的 Subtour 约束公式
【发布时间】：2019-08-26 13:29:14
【问题描述】：

我正在比较旅行商问题 (TSP) 的不同表述。特别是，我正在比较 DFJ 与 MTZ 子旅游约束公式。这些是使用 GLPK 求解器实现的（通过带有pyomo 包的 Python 代码。由于前者的约束非常多，因此 TSP 求解如下：

放松所有子巡视限制
解决 MIP
如果解决方案可接受：完成
else：为当前解中的每个子循环添加 DFJ 子循环约束

这对于我需要处理的实例非常有效。另一方面，MTZ 公式方式较慢（在 10 到 10k 次之间）。因此我有以下问题：

MTZ 公式是否也可以有效地迭代求解？
时间增加 10-10k 倍的原因是什么？

关于第二个问题，两个不同之处在于 DFJ 公式包含 $O(2^n)$ 子游览约束，而 MTZ 包含 $O(n^2)$ 子游览约束并且 DFJ 使用 $n$ 变量，而MTZ 使用 $2n$。然而，由于 DFJ 是迭代求解的，所以不需要所有的 subtour 约束（实际上对于我使用的实例来说，少于 10 次迭代就足够了），我们留下了相似数量的约束。因此，我假设差异是变量的数量，但我无法弄清楚为什么这会导致如此大的差异。

最后一点，我认为使用启发式方法（即Christofide's algorithm）可以在目标上产生一个上限，该上限可以用作新的约束（希望大大减少可行解决方案的集合）。但是，如果我首先应用 Christofide 的启发式方法对目标设置一个上限，然后在求解 MIP 之前将其添加到约束条件中，则效率最多保持不变，最坏的情况最多下降 10 倍。

怎么会？这与可行解集的新形式有关吗？我的一个朋友还假设 GLPK 可能不会执行适当的预处理来消除主导约束，但我不知道这是否属实，我也不知道在哪里寻找这个。

有人对我提出的众多问题中的一个有想法吗？

【问题讨论】：

标签： mathematical-optimization heuristics glpk

【解决方案1】：

关于 Christofides 启发式的使用：我不认为正确的方法是将其目标作为约束。相反，您希望将目标作为求解器的上限。我不确定 GLPK 是如何处理这个问题的，但我想有一种方法可以提供一个初始上限，求解器首先可以使用它来计算分支定界树，然后才能找到一个可行的解决方案：比你的界限更好。

此外，Christofides 具有很好的理论性质，但一般来说，它并不是 TSP 的最佳启发式方法。即使是一些非常简单的方法，比如最远插入，平均性能也会更好。

很遗憾，我对 DFJ 与 MTZ 子巡回消除约束没有任何建议......

【讨论】：