一致启发式的证明意味着可接受的条件

Question

我试图证明一致的启发式意味着可接受的条件

提到了我阅读的一个证明here：

1. 设 h(n) 为节点 n 的启发式值，c(n,n+1) 为节点 n 到节点 n+1 的成本。

2. 我们假设 h(ng)=0;其中 ng 是目标节点。

3. 通俗地说，我们想从目标节点回溯，表明如果我们从 h(ng)=0 的可接受节点开始，其父节点将通过一致性规则被接受，并且模式继续。

4. 考虑某个节点 n 并假设 n 处的启发式值是可接受的。

5. 我们希望它的父节点，比如 n-1，也将被一致性定义所接受。

6. 通过一致性，我们得到：

   h(n-1)-h(n)

7. c(n-1,n) 是从 n-1 到 n 的实际路径成本。

8. 由于我们知道 h(n) 是可接受的，我们知道 h(n) 必须小于或等于从 n 到 ng 的路径成本。

9. 因此，h(n-1)

10. 由于 h(n) 小于或等于从 (n 到 ng) 的路径成本，因此 h(n-1)

我的问题是：在第 7 步中：c(n-1,n) 是从 n-1 到 n 的实际路径成本 他们如何满足 c(n-1,n ) 是实际路径吗？因为根据这个假设，他们的实际路径是指成本最低的路径？

在同一个参考文献中，他们也给出了正式的证明：

1. 假设我们有一些一致的启发式 h。还假设 h(ng)=0，其中 ng 是目标节点。

2. 根据一致性的定义，对于图中的所有节点 n，h(n)

3. 我们想证明对于所有 n，h(n)

4. 基本情况：我们开始考虑 ng-1 是任何路径中的节点，其中 ng 表示目标状态：

   h(ng-1)

5. 因为 ng 是最佳目标状态，所以假设 h(ng)=h*(ng)

6. 因此我们可以将上面的内容重写为：

   h(ng-1)

7. 鉴于此

   c(ng-1,ng)+h*(ng)=h*(ng-1) 我们可以看到 h(ng-1)

8. 归纳假设：假设对于某个任意节点（位于目标路径上）ng-k 比 h(ng-k)

9. 归纳步骤：看看是否总是这样，我们考虑 ng-k-1th：

h(ng-k-1)<=c(ng-k-1,ng-k)+h(ng-k)

11. 根据我们的基本情况，我们知道：

h(ng-k-1)<=c(ng-k-1,ng-k)+h(ng-k)<= c(ng-k-1,ng-k)+h*(ng-k)
h(ng-k-1)<=c(ng-k-1,ng-k)+h*(ng-k)

12. 我们再次知道：

h(ng-k-1,ng-k)+h*(ng-k)=h*(ng-k-1) 
so we can see :
h(ng-k-1)<=h*(ng-k-1) 

第 8 步和第 12 步同样的问题，我们为什么要考虑：c(the node, next node) + h*( the next node) = h*(the node)？

Answer 1

我能够证明：

c(ng-1,ng)+h*(ng)=h*(ng-1) 我们可以说 h(ng-1)

如果 c(ng-1,ng) 不是从 ng-1 到目标的最佳路径，让我们假设从 ng-1 到 ng'-1 到 g 的另一条路径是最佳路径，所以：

ng-1 --> ng'-1 --> g 是最好的路径

因为 h 是一致的：

h(ng'-1)

h(ng-1)

h(ng-1)

对于任何具有更多节点的最优路径也是正确的