多时无向加权图答案

【问题标题】：Undirected weighted graph in polytime多时无向加权图
【发布时间】：2021-11-14 20:31:40
【问题描述】：

我正在参加生物信息学算法的硕士课程，我正在尝试解决一些练习以通过考试。我陷入了这个问题，我不明白我必须以哪种方式解决它。你能帮忙吗？感谢接下来的几行是练习：

争论你是否相信以下问题具有多项式时间算法输入：一个完整的无向图 G，边上的权重为非负，权重边界为 W。解决方案：在权重

【问题讨论】：

你可以（1）设计一个算法来解决这个问题并证明你的算法是多项式时间的；这将证明该问题具有多项式时间算法。或者您可以 (2) 将您已经知道的 NP-hard 问题简化为该问题；这将是一个很好的论据，可以说这个问题可能没有多项式时间算法（正式地，这将证明如果 P!=NP，那么这个问题不存在多项式时间算法）。跨度>

【解决方案1】：

这是NP-Hard，因此没有已知多项式解决方案。

从Hamiltonian Path problem¹这个问题很容易减少。

给定一个图形G=(V, E)，创建：

G' = (V, E', w)
Where:
E' = VxV (all edges)
w(u,v) = 1    if (u,v) is in E
         2    otherwise

现在，当且仅当 G 是哈密顿时，G' 有一个有效的解决方案，|V| 最大权重。

(->) 如果'G'是hamiltonian，那么有一个路径v1->v2->...->vn。所有这些边的权重为 1，因此 G' 中的总权重为 |V|-1，使其最大且有效。

(G' 中有一条路径与value<|V|，并且我们知道它是最大的 - 所以如果它通过所有顶点 - 它不能有与w(u,v)=2 的边（否则它将超过最大重量）。那么，这条路径是G中的hamiltonian。

(1) 哈密顿路径是一条简单的路径，它通过图中的所有顶点。如果一个图有这样一条路径，我们称它为哈密顿图。 Hamiltonian 路径问题是找出一个图是否是 hamiltonian。

【讨论】：

感谢您的回答，但您的解决方案仅找到所有顶点的路径，而不是“最大可能数”。您的解决方案有效，但练习的输出不同。假设所有哈密顿路径的全局权重都大于 W（路径中每条边的权重之和 > W），在这种情况下，我们需要寻找具有最多顶点数的更简单路径。
@Irazza 这不是展示如何解决这个问题。这是一个减少，表明它是 NP Complete。它显示了如果 P 中存在针对您的问题的算法，您还可以使用多项式归约来解决哈密顿路径 - 使哈密顿路径也在 P 中。