困难渐近（递归）函数（算法分析）

Question

我被困在这个问题上，我不知道如何解决它，无论我尝试什么，我都找不到使用该功能的方法，所以我可以用一种允许我的方式来表示它求 ag(n)，使得 g(n) 为 T(n)∈Θ(g(n))

我遇到问题的功能是：

$T(n)=4n^4T(\sqrt n) +(n^6lgn+3lg^7n)(2n^2lgn+lg^3n)$

此外，如果可以的话 - 请检查我是否在正确的道路上：

$T(n)=T(n-1)+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$

为了解决它，我尝试使用： $T(n)-T(n-1)=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$ iff $(T(n)-T(n-1))+(T(n-1)-T(n-2))+\ldots+(T(2)-T(1))=\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+...+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n-1\right)^2}+....$ iff $(T(n)-T(n-1))+(T(n-1)-T(n-2))+\ldots+(T(2)-T(1))=T(n)=T(1)+\sum_{k=2}^n\frac{1}{n}+\sum_{k=2}^n\frac{1}{n^2}$ 然后使用谐波级数公式。但是我不知道如何继续并完成它并找到渐近边界来解决它

我希望第二次我走在正确的道路上。但是我根本不知道如何解决第一个问题。如果我犯了任何错误，请告诉我正确的方法，以便我改进我的错误。

非常感谢您的帮助

抱歉，由于某种原因，这里的数学显示不正确

Answer 1

从 cmets 开始：

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首先解决(2)，因为它更简单。

您的扩展尝试是正确的。写法略有不同：

• A，调和级数 - 渐近等于自然对数：

  γ = 0.57721... 是Euler-Mascheroni constant。

• B，平方反比之和——无穷和就是大名鼎鼎的Basel problem：

  这是1.6449...。因此，由于 B 是单调递增的，所以它总是O(1)。

(2) 的总复杂度仅为Θ(log n)。

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(1)有点繁琐。

• Little-o 表示法：strictly 复杂度较低的类，即：

• 假设一组N函数{F_i}按复杂度递减顺序排列，即F2 = o(F1)等。对它们进行线性组合：

  因此，不同函数的总和渐近等于增长率最高的函数。

• 要对两个括号扩展中的项进行排序，请注意

  可以通过应用L'Hopital's rule 来证明。所以唯一渐近显着的项是n^6 log n * 2n^2 log n = 2n^8 log^2 n。

• 像以前一样展开求和，注意 i) 因子 4n^4 累加，ii) m-th 展开的参数是 n^(1/(2^m))（重复平方根）。

  因此，m-th 扩展添加的新术语是（假设您知道如何执行此操作，因为您可以对 (2) 执行相同操作）：

  令人惊讶的是，每个添加的术语都与第一个完全相等。

• 假设递归扩展的停止条件是n < 2（当然向下舍入为T(1)）：

  由于每个添加的术语t_m 总是相同的，只需乘以最大扩展数：

函数(1)是