线性同余

Question

A 部分：

对于两个线性同余系统，一个系统有整数解，而另一个没有。对于有整数解的系统，写出其中差值小于 192 的 2 个。对于另一个系统，解释为什么不存在整数解。

    A: n congruent 13 (mod 16)
       n congruent 5 (mod 12)

    B: n congruent 14 (mod 16)
       n congreunt 4 (mod 12)

B 部分：

Let a1 and a2 be integers. 
Let m1 and m2 be natural numbers.
Let d = gcd(m1,m2)
Based on your observations from part A, complete the following proposition and prove it.

Proposition1: The system:
n congruent a1 (mod m1) 
n congruent a2 (mod m2)
has an integer solution if and only if ____________
(The blank needs to be filled with a simple condition on a1,a2,d)

任何提示都会很棒！提前致谢！

Answer 1

16 和 12 不是互质数，所以通常的中国剩余定理不适用。事实上，由于它们的公因数为 4，这意味着系统只有在 (x mod 16) 和 (x mod 12) 是全等 mod 4 时才有解。如您所见，这仅适用于其中一个上面列出的系统。

在有解的情况下，解之间的最小距离是 lcm(16,12)=48 而不是 16*12 = 192，因为模中有公因数。 CRT 确保知道 x mod 12 等价于知道 x mod 3 和 x mod 4，因为 12=3*4 并且 3 和 4 互质。但是，您已经知道 x mod 4，因为您知道 x mod 16 和 4 除以 16。所以您可以将第二个等式提供的额外信息视为仅 x mod 3 而不是 x mod 12。

我希望这会有所帮助。如果不直接给出答案，我不确定如何更好地解释它。