非线性同余方程的解数

Question

我正在尝试找到解决方案的数量

       x^a (mod b) =c with 0<=x<=u

其中 b

    (x^a + y^a) (mod b)=c

我可以生成所有无序的 x 和 y 对，使得 x

            t={i+i*(i-1)*2 if x=y , i*j*2 if x!=y }

对 t 求和。我想知道我的算法是否正确，是否还有其他更有效的算法。

Answer 1

是的，如果 x^a mod b = c 则 (x+b)^a mod b = c。所以到目前为止总共会有 1 + floor((u-x)/b) 个解决方案。您只需要记住在搜索从 (x+1) 到 min(u,b) 的其他解决方案时跳过这些数字。

该概念适用于 2 个变量，但计算量更大。您求解 x^a mod b = d 并将计数保存为 T[d]，其中 0 ≤ d

那么解决方案的总数与您建议的相似，只是我不打扰单独处理 x=y 和 x≠y：

for (i=0 ; i < b ; i++)
   count += T[i]*T[(b +c -i)%b];