来自数字数组的表达式答案

【问题标题】：Expression from an array of numbers来自数字数组的表达式
【发布时间】：2012-11-05 11:00:01
【问题描述】：

给你三样东西

1) 一个由“n”个正整数和负整数组成的数组。 2) 数字“x”。 3) 运算符：'+'、'-'、'%'、'/'

用数组形成一个表达式，这样当你计算它时，结果会变成'x'。

例如，考虑数组 [5,3,-1,6,2,3] 和 x=2，一种可能的解决方案是

5 / 3 + (-1) + 6 / 2 - 1

假设 5 / 3 的结果是 1（总是整数除法）。

我有一个更复杂的变体。

在这个问题的复杂变体中，假设 BODMASS 规则不适用。因此，在任何时候，您都遍历了元素“m”，并且得到了中间结果“y”。您可以将任何运算符应用于 'y' 和 a[m + 1]。

例如，在变体 1 中，

5 + 3 - 2 / 2 = 7（首先计算 2 / 2，所以 5 + 3 - 1）

在变体 2 中，

5 + 3 - 2 / 2 = 3（5 + 3 = 8。数组减少到 8 - 2 / 2。现在，8 -2 = 6。数组减少到 6 / 2，计算结果为 3）。

算法/数学/DS 专家？

这是一个 NP 难吗？

【问题讨论】：

标签： algorithm math data-structures np np-hard

【解决方案1】：

有 4 个运算符，因此一组 n 项有 4^(n-1) 个可能的值。您可以构建一个搜索空间图，其中每条路径代表一组运算符值，终点是计算的结果。

在所有这些终点中，只有那些给出正确答案的终点才会在正确的终点结束。

但请注意，如果从终点开始，则可以向后遍历；只有当您有一组有效的运算符时，您才会以第一个值结束。

所以从两端遍历它，两个计算会在中间相遇。这是一个小得多的空间，每个方向 4^(n/2) = 2^n。为了匹配这两组答案，您需要对中间得到的列表进行排序，尽管您可能更愿意在每一步都这样做，以防止重复路径被遵循。此时看起来很像迷宫穿越。

一个已知的 NP 完全问题是 Boolean satisfiability 的问题，它是“确定给定布尔公式的变量是否可以以使公式计算为 TRUE 的方式分配的问题”。我怀疑由于搜索空间明显大于布尔可满足性问题的空间，并且由于解决方案还将确定公式是可满足的（因此至少与解决可满足性一样难），那么问题应该是 NP 完全的。

在迷宫的意义上，值偏离零的部分解不太可能是正确的解，并且给定参数的初始扫描，应该清楚对大小有什么限制（即所有乘法），这在布尔问题中不是这样。

编辑：澄清我在开头提到的树。假设我们的列表是

 1 ? 2 ? 5 = X

那么图形是这样的：

 r1 -->  r2  ---> r3 (X)

 1  +2    3  +5    8
             -5   -2
             *5   15
             /5    0

    -2   -1  +5    4
             -5   -6
             *5   -5
             /5    0

    *2    2  +5    7
             -5   -3
             *5   10
             /5    0

    /2    0  +5    5
             -5   -5
             *5    0
             /5    0

如您所见，如果 X 为 -5，则它可能是 1 -2 *5 或 1 /2 -5。从 -5 向后工作：

因此，如果我们从每一端开始，我们将位于中间一列，唯一的共同值将是 -1 和 0，从而产生具有 8 次计算的两条路径，而不是仅在一个方向上进行的 16 条路径。

我错过的一点是整数除法不是 1:1 映射，因此向后退一步是模棱两可的； -4/5 -> 0, -3/5 -> 0 等等，直到 4/5 -> 0。0 是最坏的情况，因为它是从 0 的任一侧接近的，但即使是 20/10 到 29/10 也是如此映射到相同的值，2。这是一个相当大的障碍；它通过被除数的大小后退时增加可能节点的数量，因此对于 5，有 3+5 = 8 个可能的状态，而不是 4。

【讨论】：

是不是每个节点都有 4 * (n - 1) 条边？在这个图中，任何包含初始集合所有元素的路径都成为一个表达式？
每条边都是对表达式中前一个值的操作，所以对于表达式 1 * 7 + 3，节点是 1, 7, 21，边 (*7) 和 (+3 ）。我没有说得很清楚。因此，给定节点的 4 条出边是与下一个元素的 4 种可能操作，到达 4 个子节点。从 7 开始，有 +3、-3、*3 和 /3，到达节点 10、4、21、2。在树的每个等级上，它前面的路径都没有关系，因此您可以合并任何公共节点以减少正在进行的树大小。
当你说with the next element 时没有（n - 1）个下一个元素吗？因为任何元素都可以使用任何操作与任何其他元素组合。在您的示例中给定 {1, 7, 3}，从 7 开始，除了您已经提到的边缘之外，还可以有边 +1、-1、*1、/1。我喜欢这种方法，它非常优雅，试图更好地理解它。干杯！
是的，我给出了单个路径中的节点示例，而不是整个树。我已经更新了答案以更清楚地显示示例树。我认为很明显，您实际上希望比较两个方向的值，并偏爱与另一方最匹配的值；如果反向步进已经达到某个较大的正数，则正向步进中较大的正节点最有可能产生解决方案。
@AsiriRathnayake：我明白你的意思，这会使问题变得更加困难，因为当排序不固定时，解决方案的数量是排列的。您可能需要为每个排序创建一个树...

【解决方案2】：

这是一个递归解决方案的尝试（对于简单版本）：

Gen {'x'} = {'x'}
Gen {'x', 'y'} = {'x + y', 'x - y', 'y - x', 'x / y', 'y / x', 'x % y', 'y % x'}
S0 = {a[0]}
Gen S(i + 1) = {j ∈ S(i) | Gen {j, a[i + 1]}}

最终答案是：∃ j ∈ S(n). x = [[ j ]]

也就是说，我们逐步构建所有可能的值（作为表达式），然后最终评估所有这些值，看看其中一个是否可以产生x（也可以逐步进行评估)。

但是，在这里我假设a 中的值在构建表达式时是线性使用的。我意识到你的问题不是这种情况......

【讨论】：