以相等的概率创建具有给定入度的所有强连通图

Question

我正在寻找一种从n 节点和入度的所有强连接有向图（无自环）的空间中均匀采样的方法k=(k_1,...,k_n), 1 <= k_i <= n-1.

输入

• n，节点数
• k = (k_1,...,k_n)，其中k_i = 进入节点i 的有向边数（度数）

输出

• n 节点（无自环）与给定入度 k_1,...,k_n 的强连通有向图，其中每个可能的此类图都以相同概率返回。

我对@9​​87654330@ 很大而k_i 很小的情况特别感兴趣，因此简单地创建图表并检查强连通性是不可行的，因为概率基本上是零。。 p>

我浏览了各种论文和方法，但找不到任何解决这个问题的方法。

Answer 1

继续创建随机路径，直到出现循环：

node1->node2->node3...->nodek->节点r

现在，将循环 node->noder+1->nodek 替换为 blob，我们称之为 blobr。现在继续将其连接到其余节点（这样节点不在此 blob 中）。每次遇到循环时，只需创建一个更大的 blob。

这最终将创建一个随机的最小强有向图。然后，添加随机边以满足传入标准。

这肯定会创建您要求的所有组合。我认为所有组合的可能性都相同，但我必须考虑更多。

算法：这是一个粗略的方案。我实际上并没有在这里重新构建图形结构，也没有解决边缘条件，但这应该非常简单。

function randomStrongGraph(list<set<node>> chain, set<node> allnodes)
    Node newnode = random(allnodes - head(chain))
    alreadyEncountered = false
    for (i=0,i<chain.length-1;i++)
        if (newnode in chain(i))
            consolidate(chain, i)
            alreadyEncountered = true
            break
    if !alreadyEncountered
        chain.append(new set().add(newnode))    
    randomStrongGraph(chain, allnodes)