给定序列具有值的概率

Question

考虑一个具有按位操作数的有效字符串（即“xor”、“or”、“and”）以及“X”，其中 X 是 {0,1} 中的整数。让我们考虑它们是 n 个“X”，那么它们是 2**n 个可能的字符串。我们需要找到值为“0”和值为“1”的字符串的数量。

例子：

考虑 4 个可能的“X&X”，只有 3 个值为 0，只有一个值为 1。

当字符串中的操作数不止一个位时，任何人都可以帮助我。

Answer 1

你不说，但我假设字符串的解释是通过从左到右关联来完成的（即0^1&0 表示(0^1)&0）。我将使用|、& 和^ 来表示或、与、异或。

让s 是一个任意字符串，其中n 个Xs 的计算结果为0，t 是一个任意字符串，n 个Xs 的计算结果为1。

然后，具有 n+1 Xs 且计算结果为 1 的字符串看起来像以下之一：t|0、s|1、t|1、t&1、s^1、t^0。评估为 0 的有 s|0、s&1、s&0、t&0、s^0、t^1。

固定一个运算符序列，令 S(n) 是具有 n Xs 且使用给定运算符计算为 0 的字符串的数量，并且 T(n) 是计算为 1 的数字。假设 i '给你的第一个运算符是 O(i)。然后，仅计算上一段中每个运算符的组合，您就有递归关系：

• S(1)=T(1)=1
• S(n+1), T(n+1) = S(n), S(n)+2T(n) 如果 O(i)=|
• S(n+1), T(n+1) = 2S(n)+T(n), T(n) 如果 O(i)=&
• S(n+1), T(n+1) = S(n)+T(n), S(n)+T(n) 如果 O(i)=^

这些递归关系很容易在 O(n) 动态程序中编码。