蛮力 BFS 与 Dijkstra 最短路径算法的运行时间分析答案

【问题标题】：Running time analysis of brute force BFS vs Dijkstra's for shortest path algorithm蛮力 BFS 与 Dijkstra 最短路径算法的运行时间分析
【发布时间】：2019-06-27 04:28:31
【问题描述】：

Dijkstra 的运行时间为 O(|E| + |V|log|V|) 蛮力 BFS 的运行时间为 O(|E| + |V|)

那么为什么 dijkstra 更优呢？好像运行时间比较长。

编辑：请参阅标记的答案。事实证明，我在加权图上使用 BFS 对最短路径的运行时间分析（基本上是蛮力）是不正确的。在加权图上使用蛮力 BFS 的上限为 O(V!)。 Dijstra 的更佳。

【问题讨论】：

Why use Dijkstra's Algorithm if Breadth First Search (BFS) can do the same thing faster?的可能重复
...也许它是“更优化的”（谁声称这个？），因为它包括 BFS（以 bfs 方式访问所有可达节点）并且另外找到最短路径。

标签： algorithm

【解决方案1】：

我假设您的意思是暴力破解所有路径组合并选择最快的。但这需要您（可能）使用指数级的 BFS，在这种情况下，您不能说时间复杂度为 O(|V|+|E|)。 O(|V|+|E|) 是如果您使用 BFS 的时间量是恒定的。我提到了 2 个图表示例，以说明您必须证明 Dijkstra 比蛮力 BFS 更快的路径的可能性数量，因为后者取决于您拥有多少路径的可能性。

平衡二叉树，有一个根（起点），每个顶点都有 2 个子节点，除了叶子节点和作为叶子节点之一的目标顶点。如果从根目录开始，则路径有 2 种选择。如果你去其中一个，你还有另外 2 个选择，依此类推，直到你到达目标顶点。这使得 2 * 2 * ... * 2 路径可能性，其中它乘以 log(|V|)-1 倍。这是O（n）。这使得蛮力 BFS 算法的运行时间为 O(n^2 + nm)，比 Dijkstra 慢。

全图：假设你从 V1 开始，目的地是 Vn，你可以从 V1 开始，下一个顶点有 V-1 个可能性。在第二个顶点你有 V-2 的可能性，在第三个 V-3 等等，直到你在 Vn。这使得 V-1 * V-2 * ... * 3 * 2 * 1 = O((V-1)!) 可能的路径数，这使蛮力 BFS 算法具有指数运行时间。

我们可以将后者视为上限。下界可以是一个图，它是一条路径，两种算法都需要 O(n) 时间。我们可以得出结论，可能在所有情况下，Dijkstra 都比蛮力 BFS 算法更快或一样快。

【讨论】：

如何对蛮力 BFS 进行运行时间分析？就像如果每对顶点都有一条边，那么运行时间应该是 O(V^V)，因为每个顶点都可以连接到其他顶点。但是如果每对顶点都没有边怎么办。你如何确定蛮力运行时间？
这真的取决于你的图表的样子。让我们考虑一个有 n 个顶点的二叉树（在这种情况下很容易确定运行时间）。如果你从根开始，你有两个选择（左孩子或右孩子）。如果你选择其中一个，选项就会翻倍，你有 4 种可能性，依此类推，直到你完成了整棵树。这使得 2*2*2*2....*2 log2(n) 次。所以这会产生 O(n) 路径，您需要使用 BFS O(n) 次。现在该算法的运行时间将变为 n*(n+m) = n^2 + nm，这比 Dijkstra 差很多。
对于一般图表，我不知道如何计算其中路径数的公式（如果有办法做到这一点，我会感到惊讶）。但是，如果 bruteforce BFS 解决方案使像二叉树这样的简单图的运行时间为 n^2 + nm，那么 Dijkstra 可能对任何图都快得多。
对于一般图，假设每个顶点平均有 k 条边和 N 个顶点。这将是k ^ N。我的分析正确吗？换句话说，二叉树只是一个平均有 2 条边的图，运行时间为 2^N。如果是全连接图，则为 N^N，因为每个顶点有 N 条边
不，例如对于二叉树（平衡），从根到叶有 O(n) 条路径。 O(n) 因为 2^(log(n)-1) = O(n) 因为树的高度不是 n，而是 log(n)。但是对于从根到叶的路径，对于其他对，您的路径较少。对于每个顶点正好有 K 个孩子的树，你有 K^(log(n)-1)，它应该又是 O(n)。也许我关于可能性指数数量的说法不正确，但蛮力算法仍然比 Dijkstra 慢。

【解决方案2】：

Dijkstra 的运行时间为 O(|E| + |V|log|V|)，但它可以在加权图中找到源节点和目标节点之间的最短路径。 BFS 的运行时间为O(|E| + |V|)，但它仅在所有边具有相等权重 时才能找到源节点和目标节点之间的最短路径。如果你所有的边缘都具有相同的权重，那么确实不需要运行 Dijkstra。

【讨论】：

我试图理解为什么不能使用 BFS 进行加权图搜索。假设每次都跟踪当前的路径成本总和，并且我不断探索每一个我尝试所有可能的路线组合。我最终可以找到 BFS 的最短路径吗？没有？
@samol：你当然可以用这种方式扩展 BFS，但它不会再有 O(|E| + |V|) 的最坏情况运行时间。 Plain BFS 每个节点只访问一次，因为第一次访问是最短路径，所以可以将节点标记为已访问，之后跳过。如果你每次找到一个低转换路径时都添加逻辑来重新访问一个节点，它会变得很多更昂贵。 Dijkstra 算法的最坏情况 O(|E| + |V| log |V|) 版本只是带有最小堆而不是队列的 BFS，这让它支持加权边，同时仍然只需要访问每个节点一次。