生成所有“无替换”子集系列

Question

我正在寻找一种方法来生成集合的所有可能子组合，其中每个元素最多可以使用一次。

例如，集合{1,2,3} 会产生

{{1},{2},{3}}
{{1},{2,3}}
{{1,2},{3}}
{{2},{1,3}}
{{1,2,3}}

伪代码提示会很棒。另外，如果有一个术语，或者适用的术语，我很想学习它。

Answer 1

首先，几点建议。

将集合分离为不相交的子集称为集合分区（Wikipedia、MathWorld）。

编码集合分区的常用方法是restricted growth string。

set partitions 的数量是Bell number，并且增长很快：对于 20 个元素的 set，有 51,724,158,235,372 个 set partitions。

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以下是编码的工作原理。 按升序查看元素：1、2、3、4、...。 让c 是当前子集的数量，最初是0。 每当当前元素是其子集的最低元素时，我们为该集合分配数字c，然后将c 增加1。 无论如何，我们记下包含当前元素的子集的编号。

从过程中可以看出，字符串的第一个元素将是0，并且每个下一个元素不大于迄今为止的最大值加一。因此得名“限制性增长字符串”。

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例如，考虑分区{1,3},{2,5},{4}。

元素1 是其子集中的最低元素，因此子集{1,3} 由0 标记。
元素2 是其子集中的最低元素，因此子集{2,5} 由1 标记。
元素 3 位于已由 0 标记的子集中。
元素 4 是其子集中的最低元素，因此子集 {4} 由 2 标记。
元素 5 位于已被 1 标记的子集中。

因此我们得到字符串01021。 字符串告诉我们：

元素 1 在子集 0 中。
元素 2 在子集 1 中。
元素 3 在子集 0 中。
元素 4 在子集 2 中。
元素 5 在子集 1 中。

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为了从不同的角度感受它，这里是一个四元素集合的所有分区，以及相应的缩减增长字符串：

0000      {1,2,3,4}
0001      {1,2,3},{4}
0010      {1,2,4},{3}
0011      {1,2},{3,4}
0012      {1,2},{3},{4}
0100      {1,3,4},{2}
0101      {1,3},{2,4}
0102      {1,3},{2},{4}
0110      {1,4},{2,3}
0111      {1},{2,3,4}
0112      {1},{2,3},{4}
0120      {1,4},{2},{3}
0121      {1},{2,4},{3}
0122      {1},{2},{3,4}
0123      {1},{2},{3},{4}

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至于伪代码，生成所有此类字符串相对简单。 我们以递归方式进行。 保持c 的值，将从0 到c 的每个数字分配到当前位置，并且对于每个这样的选择，递归地构造字符串的其余部分。 也可以懒惰地生成它们，从一个全为零的字符串开始，然后反复查找按字典顺序排列的下一个这样的字符串，类似于 next_permutation 用于 list all permutations 的方式。

最后，如果您想看到更多内容（以及提到的next 功能），这里有一点自我推销。 最近，我们在我的大学做了一个学习项目，要求学生以合理的效率实现组合对象的各种功能。 Here 是我们得到的限制增长字符串的部分；我链接了描述英文功能的标题部分。