从一棵空树开始，以大 O 表示法插入红黑树的复杂度是多少？答案

【问题标题】：Starting with an empty tree, what is the complexity of inserting into Red Black Tree in big-O notation?从一棵空树开始，以大 O 表示法插入红黑树的复杂度是多少？
【发布时间】：2010-12-16 17:27:51
【问题描述】：

如果我有 10 个元素并从一棵空树开始，以大 O 表示法将 10 个元素插入 Red Black 的复杂性是多少？

会不会超过 O(log 10)，因为每次插入一个元素时，它都必须为该元素寻找合适的位置，并在祖先节点和子节点之间执行一系列旋转。因此，如果我有 N 个元素并在 Red Black Tree 中插入 N 次，那不是 O(n log n) 吗？

感谢您的帮助。

【问题讨论】：

标签： c algorithm tree binary-tree red-black-tree

【解决方案1】：

您永远不要使用带常量的 big-O（1 除外），因为 O(10) 的含义与 O(1) 或 O(128291) 完全相同，因此按照惯例，您始终使用 O(1)！

那么，让我们看看将 K 项插入到最初为空的 RB-tree 中的大 O 是什么。第一次插入是一个常数时间，所以称之为 O(1)；并在有 X 个项目时插入 X+1st 是 O(log(X)) （即使你必须向下旋转每一步，它仍然是与 log(X) 成比例的最坏情况，所以，O(log(X) )，因为“层”或“层”的数量仅与 X 成对数增长——因为 K 层的 RB 树的节点数量会增长为 2 的 K 次方）。

所以我们想要 X 从 2 到 N 的 log(X) 总和（加上一个常数），它恰好等于 N 的阶乘的对数。根据Stirling's approx，大约是 N log(N ) - N，在大 O 术语中再次归结为 N log(N)。

【讨论】：

@John，所以如果你喜欢它，为什么不接受它（使用问题左上角“赞成票数”大数字下的复选标记）——这是基本的礼仪，会得到您从 SO 声誉阶梯开始（是的，您通过接受获得声望！-）。
@AlexMartelli 我相信你有一个小错字：当有 X 个项目时插入是 O(logX) 而不是 O(X)。不错的答案顺便说一句，+1。
@MiljenMikic，你是对的 - 编辑修复并祝贺你在 5 年多的时间里第一个发现这个问题！-)

【解决方案2】：

@Justice 和 @Alex 真正了解的是，O(f(N)) 复杂性度量谈到了 N 趋于无穷大时的限制行为（例如运行时间、比较次数等）。

他们说如果你用一个特定的值代替 N，O 术语就不再有意义了。

还有一点他们没有提出。也就是说，您不能使用O(...) 表示法中的语句来告诉您当 N 很小时会发生什么。根据定义，“大 O”符号不会告诉您在这种情况下会发生什么。

这不仅仅是迂腐。例如，成本函数F(N) = 1,000,000 * N + N**2 是O(N**2)，但对于小于 1,000 的 N 值，第一项占主导地位。如果您在这种情况下尝试使用O(N**2) 度量作为估计器，您将得到完全错误的答案。

【讨论】：

【解决方案3】：

将单个元素插入 RB 树的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是树的当前大小。

因此，将n 元素插入空 RB 树的时间复杂度为O(n log n)。

将10 元素插入空的 RB 树的时间复杂度是恒定的，即O(1)。因为树一开始是空的，而且插入的元素数量是固定的，所以这里没有可变元素。

【讨论】：