时间复杂度是多少（大 O 表示法）？

Question

我无法计算这个程序的时间复杂度。

`const int n=1e6+5;
 int prime[n];
 void pre()
 {
    prime[1]=1;
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        if(!prime[i])
        {
            for(int j=2;i*j<n;j++)
            {
                 prime[i*j]=1;
            }
         }
     }
 }`

你能用大 O 表示法告诉这个程序的时间复杂度是多少

Answer 1

对于外循环的每次迭代，内循环的迭代次数与n/i 成正比。因此，迭代的总数类似于n/2 + n/3 + … + n/n。我们可以将 n 分解为n * (1/2 + 1/3 + … + 1/n)。我们认识到括号中的内容基本上是直到项 n 的调和级数，并且调和级数的部分和在 n 中具有对数渐近增长（参见 Wikipedia here）。

因此，看起来内循环的总迭代次数增加了n * log(n)。内循环的每次迭代都会做恒定的工作，而内循环的外部每次外循环的迭代都会做恒定的工作。因此，我们得到了像a * n + b * n * log(n) 这样的工作总量，即O(n log n)。

现在这可能有点草率，因为从技术上讲，将两个数字相乘并不是“免费”的操作。如果我们忽略这一点并假设我们正在谈论的是现实计算机，其中所有乘法都需要大约相同的时间而不管大小（固定大小的变量），那么这很好。确实，如果手动执行此操作，您可能需要考虑乘法的成本，这可能与数字大小的对数成正比。这可能会添加一个额外的对数项，给出类似O(n log^2 n) 之类的东西。 YMMV。

Answer 2

一步一步的数学公式：