快速确定 Python 中小于 10 亿的数字是否为素数

Question

我目前在 python 中检查数字素数的算法对于 1000 万到 10 亿之间的数字会变慢。我希望它得到改进，因为我知道我永远不会得到大于 10 亿的数字。

上下文是我无法获得足够快的实现来解决项目 Euler 的问题 60：我在 75 秒内得到问题的答案，而我需要在 60 秒内得到答案。 http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=60

我可以使用的内存很少，所以我无法存储所有低于 10 亿的素数。

我目前正在使用调整为 6k±1 的标准试用分区。还有什么比这更好的吗？对于这么大的数字，我是否已经需要使用 Rabin-Miller 方法。

primes_under_100 = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
def isprime(n):
    if n <= 100:
        return n in primes_under_100
    if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
        return False

    for f in range(5, int(n ** .5), 6):
        if n % f == 0 or n % (f + 2) == 0:
            return False
    return True

如何改进这个算法？

精度：我是 python 新手，只想使用 python 3+。

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最终代码

对于有兴趣的朋友，使用MAK的思路，我生成了如下代码，大约快了1/3，让我在不到60秒的时间内就得到了欧拉问题的结果！

from bisect import bisect_left
# sqrt(1000000000) = 31622
__primes = sieve(31622)
def is_prime(n):
    # if prime is already in the list, just pick it
    if n <= 31622:
        i = bisect_left(__primes, n)
        return i != len(__primes) and __primes[i] == n
    # Divide by each known prime
    limit = int(n ** .5)
    for p in __primes:
        if p > limit: return True
        if n % p == 0: return False
    # fall back on trial division if n > 1 billion
    for f in range(31627, limit, 6): # 31627 is the next prime
        if n % f == 0 or n % (f + 4) == 0:
            return False
    return True

Answer 1

您可以先将您的n 除以您的primes_under_100。

另外，预计算更多的素数。

此外，您实际上将 range() 结果存储在内存中 - 请改用 irange() 并使用此内存来运行 Sieve of Eratosthenes algorithm。

Answer 2

对于大到 10^9 的数字，一种方法是生成直到 sqrt(10^9) 的所有素数，然后简单地检查输入数字与该列表中数字的可分性。如果一个数字不能被任何其他小于或等于其平方根的素数整除，则它本身必须是素数（它必须至少有一个因数 = sqrt 才能不是素数）。请注意，您不需要测试所有数字的整除性，只需到平方根（大约 32,000 - 我认为非常易于管理）。您可以使用sieve 生成素数列表。

您也可以选择probabilistic prime test。但它们可能更难理解，对于这个问题，只需使用生成的素数列表就足够了。

Answer 3

为了解决 Project Euler 问题，我按照您在问题中的建议进行了操作：实施 Miller Rabin 测试（在 C# 中，但我怀疑它在 Python 中也会很快）。算法并不难。对于低于 4,759,123,141 的数字，只需检查一个数字是否是基数为 2、7、61 的强伪素数。结合小素数的试除法。

我不知道到目前为止你解决了多少问题，但是有一个快速的素性测试可供你使用，对于很多问题来说都是很有价值的。

Answer 4

好吧，我在（非常好）Peter Van Der Heijden 的回答下对我的评论进行了跟进，即“流行的”Python 库中的真正大素数（一般数字）没有什么好处。原来我错了——sympy 中有一个（符号代数的优秀库等）：

https://docs.sympy.org/latest/modules/ntheory.html#sympy.ntheory.primetest.isprime

当然，它可能会产生高于10**16 的误报，但这已经比我什么都不做的任何事情要好得多（除了pip install sympy ;)）

Answer 5

def isprime(num):
if (num==3)or(num==2):
    return(True)
elif (num%2 == 0)or(num%5 == 0):
    return (False)
elif ((((num+1)%6 ==0) or ((num-1)%6 ==0)) and (num>1)):
    return (True)
else:
    return (False)

我认为这段代码是最快的..