我们如何证明算法的运行时间限制是紧的？

Question

假设我们可以证明，使用大小为 n 的输入调用的算法可以及时运行 O(f(n))。

我想证明这个运行时间限制很紧。两个问题：

1. 提供一个特殊的输入并显示运行时间至少是f(n) 不够吗？
2. 我已经读到证明紧密性的一种可能性是“减少对它的排序”。我不知道这是什么意思

Answer 1

提供一个特殊的输入并显示正在运行的 时间至少为 f(n)？

是的，假设您谈论的是最坏情况的复杂性。
如果您正在谈论最坏情况的复杂性 - 并且您已经证明它在 O(f(n)) 中运行，如果您发现某个输入比 C*f(n)) 更“差”对于某个常量 C - 您有效地证明了该算法（在最坏情况下的性能）在Ω(f(n))，并且由于O(f(n)) [intersection] Ω(f(n)) = Theta(f(n))，这意味着您的算法在最坏情况分析下运行在Theta(f(n))。
注意它实际上应该是一个“系列”示例，因为如果我声明“是的，但这仅适用于小的 n 值，而不适用于 n>N（对于一些N)，你可以告诉我这一系列的例子也涵盖了n>N的情况，并且仍然有效。

对称地，如果你证明了一个算法具有Ω(f(n)) 的最佳案例性能，并且你发现一些输入对于某些常数C 运行“更好”（更快）（更快），那么你有效地证明了该算法是@ 987654334@最佳案例分析下。

此技巧不适用于平均案例分析 - 您应该计算运行时间的预期值，而单个示例没有帮助。

我读到证明密封性的一种可能性是“减少 排序到它”。我不知道这是什么意思

这样做是为了证明一个更强有力的主张，即没有算法（根本）可以在所需的时间解决某些问题。
它的常见用法是假设有一些黑盒算法A 在某个o(g(n)) 时间运行，然后使用A 构建一个在o(nlogn) 时间运行的排序算法。但是，由于排序是Ω(nlogn) 的问题，我们有一个矛盾，我们可以断定关于A 的假设是错误的，它不能在预期的时间内运行。

这有助于我们证明一个更有力的主张：不仅我们的算法有这个下限，解决特定问题的所有算法都有这个下限。

Answer 2

ad 1.: 是的，但是你必须能够为任何 n 找到大小为 n 的输入。分 9 步处理的大小 3 的示例并不能真正证明什么。

ad 2.：如果您可以修改元素序列，以便您的算法有效地对其进行排序（在对输出进行一些处理后得到一个排序序列），那么您已经减少了对它的排序。而且因为排序（通过比较）不能比 O(n log(n)) 快，这可以用来证明你的算法不能比 O(n log(n)) 快。

当然，输入和输出处理函数不能慢于或等于 O(n log(n)) 才能使该参数有效，否则您可以对数组进行排序并证明 O(1) 算法只是返回输入数组实际上至少是 O(n log(n)) :)。