NP完全的复杂度测量

Question

例如，已知集合覆盖决策问题是一个 NP 完全问题。这个问题的输入是一个全域 U、一个 U 的子集族 S 和一个整数 k()。

我感到困惑的一件事是，如果我们让 k=1，那么显然问题可以通过简单地检查 S 中的每个元素在时间 |S| 中得到解决。更一般地说，当 k 是一个常数时，该问题可以在 |S| 的多项式时间内解决。这样，只有当 k 也随着 |S| 增加时，时间复杂度才会呈指数级增长，例如 |S|/2、|S|/3...

所以这是我的问题：

1. 我目前的理解是，NP 完全问题的时间复杂度测量是根据最坏情况来测量的。谁能告诉我理解是否正确？

2. 我看到有人证明了另一个问题是 NP 难的，他表明输入 <U,S,|U|/3> 的集合覆盖决定问题可以简化为该问题。我只是想知道为什么他只证明<U,S,|U|/3>，而不是<U,S,ARBITRARY k>？？这样的证明可靠吗？

非常感谢！

Answer 1

时间复杂度是作为输入实例大小的函数来衡量的。输入实例的大小可以用比特来衡量。输入实例大小随着输入 U、S 和 k 的任何增加而增加。因此，人们试图回答的问题是解决实例大小问题（例如2n bits）与实例大小问题n 相比需要多长时间。

因此，整个输入实例的大小必须增加，在这种特殊情况下，这意味着增加U 和/或S 和/或k 的大小。

回答你的两个问题：

1. 是的，使用了最坏情况下的时间复杂度：您正在寻找输入大小n 的最难问题，并且您正确地注意到，当您增加更多参数而不是一个参数时，问题（相同大小）可能会变得更难.

2. 最好看看你所指的证明，但想法可能是这样的：

   我将大小为n 的集合覆盖决策问题实例的多项式缩减为我的问题大小为m 的实例。如果集合覆盖决策问题的输入实例的大小增加到2n，那么减少的结果将是我的问题实例的大小为2m，因为U、@987654336 的输入大小之间存在直接对应关系@, 和 k 以及我的问题的输入大小。

   所以所有大小为n 的集合覆盖决策问题实例都映射到我的大小为m 的问题实例。因此，如果我正在寻找使用这种缩减的集合覆盖决策问题的最难实例，我将找到大小为m 的问题的最难实例。

编辑

来自链接论文中的证明：

证明。我们减少了一个任意的 3-cover 问题实例——我们在其中 给定一个全域 U，一个 U 的子集族 S，使得每个子集 包含 3 个元素，我们被问到是否可以（准确地）覆盖 所有的 U 使用 S 的 |U|/3 个元素——到具有齐次性的博弈 大小为 3 的资源和时间表。

正如你所说的，他们需要将集合覆盖问题的所有实例转换为他们的问题。但他们使用了一个不同问题的约简：Exact 3-cover 问题，该问题在“计算机和难处理性 - MR Garey, DS Johnson, 1979”中被证明是 NP-complete。。

Exact 3-Cover 问题类似于集合覆盖决策问题，但 |U| = 3t 和 S 是 U 的一组 3 元素子集。