整数线性规划是否提供最佳解决方案？答案

【问题标题】：Does Integer Linear Programming give optimal solution?整数线性规划是否提供最佳解决方案？
【发布时间】：2013-02-24 12:28:17
【问题描述】：

我正在尝试使用整数线性规划 (ILP) 来解决问题。由于问题是 NP-hard ，我想知道 Simplex Method 提供的解决方案是否是最优的？任何人都可以评论使用单纯形法的 ILP 的最优性或指向某些来源。是否有任何其他算法可以为 ILP 问题提供最佳解决方案？

编辑：对于 ILP 的任何算法（单纯形法、分支定界和切割平面）获得的解决方案的最优性，我正在寻找是/否答案。

【问题讨论】：

要具体。如果你问一个模糊的问题，你会得到一个模糊的答案。但是，如果您向我们提供详细信息和上下文，我们可以提供有用的答案。
如果您的 ILP 是问题的正确表述，您将获得与优化约束相对应的解决方案。只要你有足够的耐心等待它，这可能需要很长时间。对于与图形布局有关的 np-hard 问题，我去年使用了基于一般约束的编程；对于一些不超过 50 个顶点和 250 条边的图，花了一天多的时间。
@RobertHarvey 恕我直言，这个问题并不含糊。哈罗德有正确的答案。对于 SO，这个问题可能有点高级，与数学算法有关，而不是编程；但不需要上下文来理解所询问的内容。
Harold 的回答既准确又正确——尽管它只回答了“Simplex 解决 ILP 问题吗？”的问题，而不是附加问题“do 解决了什么算法ILP 问题？”
@StackUnderflow 用于一般整数线性程序：单纯形法：否。分支定界：是的，在有限的时间和有限的内存中，但是对于典型的计算机来说，它很容易快速解决或者不会耗尽内存。切割平面：经典的 Gomory 切割最终将为您提供最佳解决方案。由于数值不稳定性，它们的实际实现非常重要（它们的开发和实际实现之间有 30 多年的时间）。

【解决方案1】：

单纯形法不处理您想要整数的约束。简单地对结果进行四舍五入并不能保证给出最佳解决方案。

如果约束矩阵为totally dual integral，则使用单纯形法解决 ILP 问题确实有效。

解决 ILP（不限于完全对偶积分约束矩阵）的一些算法是 Branch and Bound，它易于实现，并且在成本合理均匀的情况下通常运行良好（非常不均匀的成本使其尝试多次尝试起初看起来很有希望，但结果并非如此）和Cutting Plane，老实说我不太了解，但它可能很好，因为人们正在使用它。

【讨论】：

【解决方案2】：

根据定义，线性规划问题的解集是最优的。

线性规划是一类称为“约束满足”的算法。一旦你满足了约束，你就解决了问题，并且没有“更好”的解决方案，因为根据定义，最好的结果就是满足约束。

但是，如果您还没有完全建模问题，那么显然其他类型的解决方案可能会更好。

澄清：当我在上面写“满足约束”时，我包括目标函数的最大化。切割平面算法本质上是单纯形算法的扩展。

【讨论】：

投反对票，因为这个答案是错误的。在线性程序中，您正在寻找既满足约束又优化（最小化或最大化）给定目标函数的解决方案。它也没有回答什么算法可以解决整数程序的问题。
答案是“一旦你满足了约束，你就解决了问题，并且没有“更好”的解决方案，因为根据定义，最好的结果就是满足约束。”这不是真的。您不仅想满足约束，还想最小化（或最大化）目标函数。
OP 询问的是 Integer LP 方法，经验表明，与删除仅整数要求相比，这种方法会产生不太理想的解决方案。您的回答似乎忽略了这一点。此外，@raoulcousins 关于最大化或最小化受约束的目标函数的观点也很好。
如果您使用单纯形法解决 ILP 问题，则 (1) 将满足约束条件，并且 (2) 将最大化目标函数。因此，答案将是最佳的。封箱。可能 OP 真的意味着要问，有没有比 ILP 的单纯形法更好的技术？并且答案不是真的（如果我们正在考虑将切割平面方法作为单纯形法的变体）。