如何找到从 k 个子集中选择一个的组合数

Question

假设我们设置了 S：

S = {1,2,3,4,5,6}

和 S 的 3 个（比如 k）个子集：

S_1 = {1,2,3}

S_2 = {2,3,4,5}

S_3 = {1,3,6}

从每个子集中选择一个元素的案例总数是多少？

同一元素不能从不同的子集中选取，不考虑顺序。

例如，

S_1 = {2}，S_2 = {3}，S_3 = {6}

和

S_1' = {3}，S_2' = {2}，S_3' = {6}

认为相同。和

S_1' = {3}，S_2' = {3}，S_3' = {1}

无效，因为 S_1' 和 S_2' 选择了相同的元素。

我该如何制定这个？

Answer 1

这个问题类似于在bipartite graph 中计算perfect matchings 的数量。

要以这种方式对其进行建模，请构建一个二分图，其中 A = { 1, ..., k }，B 是原始集合 S，以及来自 x 的边当 y 是集合 S_x 的成员时，em> ∈ A 到 y ∈ B 存在。

完美匹配对应于将 A 的每个元素与 B 的不同元素匹配的边的子集；对于每个集合 S_x，此匹配选择一个不同的元素 y ∈ S_x。也就是说，多个不同的匹配可能会匹配来自 B 的相同 k 元素，这意味着由于在您的问题中没有考虑顺序（即出于您的目的，从哪个边缘映射无关紧要） A 到那些 k 元素）。尽管如此，这些问题非常相似，并且很可能每个问题都可以归结为另一个问题。

根据this answer on math.SE，没有已知的计算完美匹配的有效算法，因此也可能没有已知的有效算法来解决这个类似问题。这表明您不太可能比某种backtracking search 做得更好。