证明停止问题是 NP 难的？答案

【问题标题】：Proof that the halting problem is NP-hard?证明停止问题是 NP 难的？
【发布时间】：2011-10-22 20:54:51
【问题描述】：

在this answer 的一个关于 NP、NP-hard 和 NP-complete 定义的问题中，Jason 声称

停机问题是经典的 NP-hard 问题。这是给定程序 P 和输入 I 的问题，它会停止吗？这是一个决策问题，但它不在 NP 中。很明显，任何 NP 完全问题都可以简化为这个问题。

虽然我同意停机问题在直觉上是一个比 NP 中的任何问题都“更难”的问题，但老实说，我无法提出一个正式的数学证明来证明停机问题是 NP 难的。特别是，我似乎找不到从 NP 中的每个问题（或至少任何已知的 NP 完全问题）的实例到停止问题的多项式时间多对一映射。

是否有直接的证据证明停机问题是 NP 难题？

【问题讨论】：

标签： theory proof halting-problem np

【解决方案1】：

我们首先注意到所有 NP 完全问题都可以简化为 3SAT。现在我们有一台图灵机，它遍历所有可能的分配，如果没有找到令人满意的分配，它就会永远运行。当且仅当 3SAT 实例可满足时，此机器才会停止。

完成证明 - 我们可以在多项式时间内将 NP 完全问题的任何实例简化为 3SAT。从那里，我们可以通过将输入与上述图灵机的描述（具有恒定大小）配对，将这个问题简化为停机问题的一个实例。这种配对可以在多项式时间内完成，因为图灵机只有恒定的大小。然后，如果图灵机在给定输入上停止，则如果 3SAT 实例可满足，则原始 NP 完全问题的答案为“是”。

【讨论】：

非常感谢！我错过了引入解决问题的 TM 的中间步骤。
众所周知，停机问题是不可判定的，那么如何有一种算法可以在 NP 完全时间内做出判定呢？
@djhaskin987 停止问题不是 NP 完全的（因为，正如您所注意到的，它是不可判定的，因此在 NP 中不是），但它是 NP 难的（也就是说，至少与NP 中的所有内容都经过多项式时间缩减），因为每个决策问题都可以缩减为它。
鉴于迭代是指数的，我不清楚如何在多项式时间内将 3SAT 简化为 HP
@idelvall 只有归约本身——即迭代所有分配的 TM 的构造——必须在多项式时间内运行。解决您简化为的问题（即让 TM 运行）不需要是多项式的。