从集合 {1, 2,…, n} 中选择 K 个不同的数，使得

Question

给定 n 和 k，k 在多少种方式中，我们可以从集合 {1, 2,…, n} 中精确选择“k”个不同的数字，使得对于每个选择的数字“a”至少有一个 'a-1' ， 'a+1'也被选中？ 一个时间复杂度O(n*k)的动态规划解是已知的。我们能做得更好吗？

Answer 1

是的，我们只需要做一些组合数学。

将运行定义为连续整数的最大子集。我们让 r 的范围从 1 到 floor(k/2)，然后将 r 次运行的子集数相加。

要计算具有给定运行次数 r 的子集数量，我们采用 (a) 划分运行长度的方法数乘以 (b) 划分运行之间间隙的方法数。

对于 (a)，将整数 k 划分为 r 个大于或等于 2 的整数之和的方法数为 ((k - 2r + (r - 1)) 选择 (r - 1)) 通过标准技术。

对于 (b)，将整数 n - k 划分为 r + 1 个整数之和的方法数为 ((n - k - (r - 1) + r) 选择 r)。

简单地说，这个公式需要 O(k^2) 次算术运算，但是如果我们使用 r - 1 的二项式系数来计算 r 的系数，那么运行时间就变成了 O(k) 次算术运算。